Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

158 4. MÉTHODOLOGIE POUR LE PILOTAGE RELATIF EN TRANSLATIONdu conservatisme concernant les calculs de µ(K 11 ), il n’existe pas de garantie qu’un seul correcteurpour les trois axes est possible.Il existe une autre possibilité afin de vérifier l’existence de l’inverse de I n∆ − K 11 ∆. En fait, il fautque la matrice I n∆ − K 11 ∆ soit bien conditionnée pour pouvoir être inversée. Le conditionnementd’une matrice M est défini comme rapport entre les valeurs singulières maximale et minimale :cond(P ) = σ(M)σ(M)(4.51)Un conditionnement très important signifie que la matrice M est difficile à inverser numériquement.Un conditionnement faible, c’est-à-dire faiblement supérieur à 1, signifie une inversion facile de lamatrice M.La partie gauche de la Fig. 4.17 montre le conditionnement du correcteur à trois axes avec laparamétrisation δ 1 = sin ν et δ 2 = cos ν pour toutes les valeurs de δ 1 et δ 2 entre −1 et +1. Le petitcercle correspond au rayon de l’existence et de l’unicité de la solution. Le grand cercle est le cercle unitéet correspond aux valeurs intéressantes à cause de la dépendance entre δ 1 et δ 2 (sin 2 ν + cos 2 ν = 1).1x 10 9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 27 x 109 ν/πδ 2=cosν0.80.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8161412108642conditionnement de I−K 11∆654321−1−1 −0.5 0 0.5 1δ 1=sinν0Figure 4.17 – Conditionnement de la matrice I n∆ − K 11 ∆ du correcteur à trois axes avec la paramétrisationδ 1 = sin ν et δ 2 = cos ν. À gauche : conditionnement pour toutes les valeurs de δ 1 et δ 2entre −1 et +1. À droite : conditionnement pour toutes les anomalies vraies entre 0 et 2π.La partie droite de la Fig. 4.17 montre le conditionnement de la matrice I n∆ − K 11 ∆ pour toutesles anomalies vraies entre 0 et 2π. Elle tient compte de la dépendance entre δ 1 et δ 2 . En d’autrestermes, elle trace le conditionnement si l’on parcourt le cercle unité de la partie gauche dans le sensdes aiguilles d’une montre.Dans les deux parties, il est bien visible que le conditionnement est généralement très élevé, del’ordre de 0.2 · 10 9 en moyenne. En outre, il existe un pic à environ ν = 1, 85π. Ces faits rendent lamatrice I n∆ − K 11 ∆ très difficile à inverser.Dans la suite, nous montrerons le conditionnement dans le cas de correcteurs distincts pour lesdynamiques dans le plan orbital et hors-plan. La Fig. 4.18 montre le correcteur à 2 axes pour le planorbital. Ici, le conditionnement a des valeurs entre 1 et 1, 1 environ. La matrice I n∆ − K 11 ∆ est trèsfacilement inversible.Quant au correcteur à 1 axe pour la dynamique hors-plan, le conditionnement est entre 1 et 1, 03,cf. Fig. 4.19.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux