Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

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34 2. DYNAMIQUE TRANSLATIONNELLE EN ORBITE TERRESTREBien que l’échelle de la Fig. 2.11 soit environ mille fois inférieure à celle de la Fig. 2.10, l’effet dû àl’aplatissement de la Terre est bien perceptible en pratique. Qualitativement, un satellite à proximitédu plan équatorial subit une attraction supérieure à l’attraction dans un champ purement sphérique,tandis qu’un satellite ayant une grande latitude ϕ subit une attraction moindre.Une étude approfondie des effets perturbateurs peut être menée grâce aux équations planétairesde Lagrange. Une description détaillée est disponible dans les ouvrages de Wie [185] et de Zarrouati[205]. En présence d’une perturbation, les paramètres orbitaux a, e, i, Ω, ω ne restent plusconstants. L’évolution temporelle de l’anomalie vraie ν est modifiée également.Les équations planétaires de Lagrange permettent d’évaluer les variations des paramètres orbitauxdues à une perturbation, plus précisément un potentiel de gravitation non sphérique. Lesparamètres orbitaux instantanés s’appellent paramètres orbitaux osculatoires. Selon Hughes [74], l’ellipseosculatrice à un point sur la trajectoire est définie comme le chemin que suivrait une masseponctuelle si toutes les forces perturbatrices cessaient à ce point.Généralement, un potentiel perturbateur entraîne des changements des paramètres orbitaux quisont composés de variations périodiques à court terme et de variations moyennes à long terme, appeléesvariations séculaires : nous nous intéressons plus en détail aux variations séculaires. Grâceaux équations planétaires de Lagrange, nous pouvons obtenir ces variations dans le cas du secondharmonique zonal :˙Ω = − 3nJ 2R⊕22p 2 c i = −2Cc i n (2.24)˙ω = − 3nJ 2R⊕2 ( ) 52p 2 2 s2 i − 2 = C(5c 2 i − 1)n∆n = 3nJ √2 1 − e2 R⊕24p 2 (3c 2 i − 1) = C √ 1 − e 2 (3c 2 i − 1)n = C ′ navec p = a(1 − e 2 ),n = √ µ ⊕ /a 3 et( ) 2 R⊕C = 3 4 J 2p(R⊕) 2 √1− e2 (3c 2 i − 1)C ′ = 3 4 J 2pCes expressions ont été obtenues par Kozai, cf. [91]. Elle représentent une très bonne approximationde la réalité pour des faibles valeurs de J 2 . Les paramètres a, e et i n’ont pas de variationsséculaires.L’expression ∆n nécessite quelques explications. Comme le paramètre orbital ν varie en permanence,la façon correcte d’exprimer son nouveau comportement temporel est obtenue en modifiantl’Éq. (2.6) :(n + ∆n)(1 + e cos ν)2˙ν = (2.25)(1 − e 2 ) 3/2Il est très important de noter que dans les Éqs. (2.24) et (2.25), a et e sont les valeurs moyennesdu demi-grand axe et de l’excentricité, respectivement.La Fig. 2.12 montre les variations des éléments orbitaux dans le cas d’une orbite de transfertCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
2.1 Le mouvement d’un satellite en orbite terrestre 352.41 x 1040.722a [km]2.4e [−]0.722.390.71860.0260i [°]60Ω [°]59.559.9859315.4400ω [°]315.2315314.80 1 2t [s]3 4x 10 5ν [°]20000 1 2 3 4t [s]x 10 5Figure 2.12 – Variations des éléments orbitaux a, e, i, Ω, ω et ν sur 10 orbites600.1Ω [°]59.5059−0.1ω [°]315.4315.2315314.80.10.050−0.05100100ν−nt [°]00−1000 1 2 3 4t [s]x 10 5−1000 1 2 3 4t [s] x 10 5Figure 2.13 – Variations des éléments orbitaux Ω, ω et ν sur 10 orbites. À gauche : éléments orbitauxosculatoires (ligne continue) et séculaires (ligne tiretée). À droite : différence entre éléments orbitauxosculatoires et séculairesCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
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