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62 3. MODÈLE COUPLÉ EN TRANSLATION ET EN ROTATIONlinéarisation paraît justifiée, par exemple le mode nulling dans une mission d’interférométrie. Unmodèle linéaire permettrait notamment d’avoir recours à des méthodes linéaires de synthèse de correcteursdites modernes, par exemple les méthodes H ∞ , H 2 , le LQG ou encore la commande modale.3.2 Points de LagrangeDéfinition 3.1 Les points de Lagrange sont les points dans le système Soleil-Terre auxquels lesaccélérations suivantes se compensent :– accélération due à la gravitation solaire ;– accélération due à la gravitation terrestre ;– accélérations inertielles dues au repère mobile qui tourne avec la Terre autour du Soleil, parexemple accélération centripète.En effet, les points de Lagrange sont des points fixes dans le problème à trois corps circulairerestreint (CR3BP, angl. circular-restricted three-body problem), cf. l’ouvrage de Marchal [120].Il existe cinq points de Lagrange dont trois points colinéaires (L 1 , L 2 et L 3 ) qui se trouvent surla droite qui relie le Soleil et la Terre. Les deux autres sont situés sur l’orbite de la Terre, mais àsoixante degrés de celle-ci. La configuration des points de Lagrange est illustré dans la Fig. 3.1.Figure 3.1 – Points de Lagrange du système Soleil-TerreDans le système Soleil-Terre, les points colinéaires L 1 et L 2 sont situés à une distance d’environ1,5 millions de km du centre de la Terre. Le point colinéaire L 3 est proche de la position opposée à laposition de la Terre par rapport au Soleil.Les points de Lagrange se prêtent très bien aux missions spatiales qui requièrent un environnementorbital tranquille car les perturbations dues à la traînée atmosphérique, à l’imperfection de laforme de la Terre (J 2 etc.) et à la gravitation lunaire sont très faibles voir inexistantes. Les perturbationsorbitales majeures sont la pression de radiation solaire et le gradient de gravité.Une analyse linéaire, c’est-à-dire une linéarisation des champs de gravitation autour des points deLagrange, montre que les points colinéaires sont instables tandis que les deux autres sont stables.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
3.2 Points de Lagrange 63En d’autres termes, une masse d’épreuve placée à proximité d’un point colinéaire aura tendance à s’enéloigner lentement. En revanche, les points L 4 et L 5 vont attirer la masse d’épreuve.De nombreuses missions spatiales ayant recours au vol en formation (par exemple Darwin, Pegaseet Terrestrial Planet Finder) ou n’y ayant pas recours (par exemple WMAP (Wilkinson MicrowaveAnisotropy Probe), Herschel, James Webb Space Telescope et Planck) sont ou seront situés près dupoint de Lagrange L 2 qui est situé derrière la Terre vu du Soleil. On préfère en effet le pointL 2 au point L 1 du fait que les vaisseaux se trouvent dans la direction opposée au Soleil et que lacommunication et la visibilité sont simplifiées. Les missions Soho et Genesis, ayant pour but d’observerle Soleil, sont deux des rares exemples du choix du point L 1 .En ce qui concerne le point L 2 , il faut trouver un moyen de sortir les vaisseaux de la pénombre(cf. Fig. 3.1). C’est pour cette raison qu’ils suivent généralement une des deux types d’orbites suivantsautour du point L 2 :– les orbites halo sont des orbites périodiques. Ils portent ce nom à cause de leur allure qui est,vu de la Terre, similaire au phénomène optique portant le même nom ;– les orbites Lissajous 1 sont des orbites quasi-périodiques : elles sont bornées, mais elles nepossèdent pas de périodicité proprement dite.En dépit de la non-stabilité du point L 2 , il existe en effet des orbites périodiques ou quasipériodiquesnaturelles ou non forcées, c’est-à-dire qui ne requièrent pas de poussée pour les maintenir.Contrairement aux orbites kepleriennes, les susdites orbites ne possèdent pas de description analytiqueet sont donc normalement obtenues par optimisation en tenant compte de différents critères,par exemple la consommation d’ergols pour d’éventuelles corrections d’orbite ou la période orbitale.2x 10 5z [km]0 2x 10 55050x 10 55y [km] 51510x [km]Figure 3.2 – Orbite halo autour du point de Lagrange L 2 du système Soleil-Terre. L 2 se trouve àl’origine du repère.La Fig. 3.2 montre une orbite halo dont les données sont disponibles dans la Réf. [185]. Le pointL 2 est à l’origine du repère. Les axes x, y et z sont dirigés le long du vecteur Soleil-Terre, le longde la vitesse orbitale de la Terre et le long du moment cinétique du mouvement orbital terrestre,1. Jules Antoine Lissajous (1822 – 1880), physicien françaisCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
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