Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

4.5 Contrôle modal auto-séquencé 163K k est une matrice complexe avec les mêmes dimensions de K n .Avec un nombre d’échantillons N impair, nous pouvons obtenir K n à partir de K k de la façonsuivante, cf. Annexe F :⎡K n = 1 ⎣K 0 +N(N−1)/2∑k=1( ( )( )) ⎤ 2π2π2R(K k ) cosN kn − 2I(K k ) sinN kn ⎦ (4.60)R(K k ) et I(K k ) sont les parties réelle et imaginaire de la matrice complexe K k .Cependant, le but n’est pas de recalculer les échantillons K n , mais de calculer K(ν). Le n correspondantà un ν particulier peut être obtenu comme suit :n = N 2π ν (4.61)Il vient :⎡K(ν) = 1 ⎣K 0 +N(N−1)/2∑k=1(2R(K k ) cos (kν) − 2I(K k ) sin (kν)) ⎦ (4.62)⎤Pour l’instant, l’avantage d’une décomposition en une série de Fourier n’est pas encore visible.Or, il est possible de tronquer cette série après N ′ < N/2 éléments :⎡⎤K(ν) = 1 ∑N ′⎣K 0 + (2R(K k ) cos (kν) − 2I(K k ) sin (kν)) ⎦ (4.63)Nk=1Bien entendu, une série de Fourier tronquée n’est plus une représentation exacte de l’évolutiondu correcteur K(ν) en fonction de l’anomalie vraie ν. Par ailleurs, la série de Fourier complète n’estpas exacte car nous n’avons utilisé qu’un nombre fini d’échantillons pour la calculer.La question se pose de savoir combien d’information est perdue lors de la troncature. La Fig. 4.23illustre l’évolution d’un gain particulier du correcteur K(ν) en fonction de l’anomalie vraie pour deslongueurs différentes de la série de Fourier. Il est bien visible que les résultats ne sont pas satisfaisants,c’est-à-dire que l’écart entre l’évolution exacte et l’évolution approximée du gain est important, jusqu’àN ′ = 2 environ. À partir de N ′ = 4, l’écart est presque invisible.L’approximation des gains du correcteur par une série de Fourier tronquée peut servir à simplifierla représentation du correcteur. En particulier, il n’est plus nécessaire d’inverser une matrice, nidirectement, ni par itération. Les calculs se réduisent à des évaluations des fonctions trigonométriquessin(kν) et cos(kν) et des multiplications et additions.Quant aux besoins de mémoire, la représentation linéaire fractionnaire est contenue dans les quatrematrices suivantes :K 11 ∈ R n∆×n∆ (4.64)K 12 ∈ R n∆×nK 21 ∈ R m×n∆K 22 ∈ R m×nCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux