Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

50 2. DYNAMIQUE TRANSLATIONNELLE EN ORBITE TERRESTREGrâce à ces calculs, nous pouvons remplacer les occurrences correspondantes dans l’Éq. (2.43) :−→ J−→⊕,J 2( −→ R ref ) = 3µ ⊕J 2 R 2 ⊕2R 9F T rco+5 ( R 2 − 7R 2 s 2˜νs 2 )i R2 ⎝⎡ ⎛+10R 3 s˜ν s i⎣R ⎝−2R 4 ⎛⎝= 3µ ⊕J 2 R 2 ⊕2R 5⎧⎛⎨ (⎩ R2 5R 2 s 2˜νs 2 i − R 2) ⎝⎛1 0 00 0 00 0 0s˜ν s i c˜ν s i c i0 0 00 0 0⎞⎞⎠⎠ + R ⎝1 0 00 1 00 0 1⎛⎞⎠ (2.64)s˜ν s i 0 0c˜ν s i 0 0c i 0 0⎞⎤⎠⎦s 2˜ν s2 i s˜ν c˜ν s 2 ⎞⎫i s˜ν s i c i ⎬s˜ν c˜ν s 2 i c 2˜ν s2 i c˜ν s i c i⎠s˜ν s i c i c˜ν s i c i c 2 ⎭ F rcoi⎛4 − 12s 2˜ν s2 i 8s˜ν c˜ν s 2 i 8s˜ν s i c i⎝ 8s˜ν c˜ν s 2 i 5s 2˜ν s2 i − 1 − 2c2˜ν s2 i −2c˜ν s i c iF T rco= F T rcoJ ⊕,J2 ( −→ R ref )F rco8s˜ν s i c i −2c˜ν s i c i 5s 2˜ν s2 i − 1 − 2c2 i⎞⎠ F rcoNous avons ensuite cherché une expression plus simple de J ⊕,J2 ( −→ R ref ), c’est-à-dire avec moinsd’occurrences de fonctions trigonométriques. À cette fin, nous avons d’abord isolé les termes constants :J ⊕,J2 ( −→ R ref ) = 3µ ⊕J 2 R 2 ⊕2R 5[ ⎛ ⎝4 0 00 −1 00 0 −1⎛−12s 2˜ν s2 i 8s˜ν c˜ν s 2 i 8s˜ν s i c i+ ⎝ 8s˜ν c˜ν s 2 i 5s 2˜ν s2 i − 2c2˜ν s2 i −2c˜ν s i c i⎞⎠ (2.65)8s˜ν s i c i −2c˜ν s i c i 5s 2˜ν s2 i − 2c2 i⎞ ]⎠Ensuite, 5s 2˜ν s2 i peut être remplacé par 5−5c2 i −5c2˜ν s2 i . Nous isolons de nouveau les termes constants :J ⊕,J2 ( −→ R ref ) = 3µ ⊕J 2 R 2 ⊕2R 5[ ⎛ ⎝4 0 00 4 00 0 4⎞⎠ (2.66)⎛−12s 2˜ν s2 i 8s˜ν c˜ν s 2 i 8s˜ν s i c i+ ⎝ 8s˜ν c˜ν s 2 i −5c 2 i − 7c2˜ν s2 i −2c˜ν s i c i8s˜ν s i c i −2c˜ν s i c i −5c 2˜ν s2 i − 7c2 i⎞ ]⎠Une observation plus attentive révèle la symétrie de J ⊕,J2 ( −→ R ref ). Cette symétrie s’explique par lefait que J ⊕,J2 ( −→ R ref ) est le hessien du champ de gravitation U ⊕,J2 ( −→ R ref ). Par conséquent, il doit existerune représentation symétrique MNM T pour la matrice contenant les fonctions trigonométriques :J ⊕,J2 ( −→ R 0 ) = 3µ ⊕J 2 R 2 ⊕2R 5 (4I3 + MNM T ) (2.67)Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux