Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

32 2. DYNAMIQUE TRANSLATIONNELLE EN ORBITE TERRESTRELe potentiel de gravitation terrestre prenant en compte les harmoniques zonaux uniquement devient :µ ⊕U ⊕,complet (R −→ , ϕ) =(R −→ · −→ (2.21)R) {1/2· 1 + J }2R⊕22(R −→ · −→ R) (1 − 3 J 3 R sin2 ⊕3 ϕ) −2(R −→ · −→ R) (5 3/2 sin3 ϕ − 3 sin ϕ) − . . .La Fig. 2.9 illustre la définition des angles de latitude ϕ et de colatitude ϕ ′ = π/2 − ϕ.Figure 2.9 – Définition des angles de latitude ϕ et de colatitude ϕ ′Les coefficients de l’harmonique zonal J 0 et J 1 n’apparaissent pas de façon explicite. En effet, lecoefficient J 0 est déjà pris en compte par le champ de gravitation sphérique. Le coefficient J 1 n’existepas si l’origine du repère géocentrique coïncide avec le centre de la Terre, ce qui est le cas par définition.Parmi les harmoniques zonaux, l’harmonique zonal d’ordre deux qui décrit l’effet dû à l’aplatissementde la Terre est prépondérant quant à la perturbation de l’orbite keplerienne. Son coefficient J 2a une valeur de J 2 = 1, 08263 · 10 −3 . Le potentiel U ⊕,J2 s’écrit comme suit :U ⊕,J2 (R −→ ) ==µ ⊕ J 2 R 2 ⊕2(R −→ · R −→ ) 3/2 (1 − 3 sin2 ϕ) (2.22)µ ⊕ J 2 R⊕22(R −→ · −→ (R −→ · −→ R)( −→ e K · −→ e K ) − 3(R −→ · −→ e K ) 2R) 3/2 (R −→ · −→ R)( −→ e K · −→ e K )= µ ⊕J 2 R 2 ⊕2Ici, nous avons utilisé les faits suivants :(R −→ · R −→ )( −→ e K · −→ e K ) − 3(R −→ · −→ e K ) 2(R −→ · R −→ ) 5/2−→ eK · −→ e K = 1 et (2.23)( π)sin ϕ = cos2 − ϕ = cos ϕ ′ = −→ R · −→ e KLa Fig. 2.10 montre le champ de gravitation terrestre sphérique. Le champ superposé induit parl’aplatissement de la Terre (deuxième harmonique zonal) est illustré dans la Fig. 2.11. Dans les deuxfigures, les accélérations sont marquées avec des flèches.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux