Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

314 C. NOTIONS DE BASE EN CINÉMATIQUE ET EN DYNAMIQUESi nous considérons une masse ponctuelle, c’est surtout sa position dans l’espace qui nous intéresse.Celle-ci peut être décrite par un vecteur :Définition C.1 Un vecteur est un objet géométrique dans un espace euclidien qui possède une directionet une magnitude. Il appartient à un espace vectoriel.Définition C.2 Un scalaire est un objet géométrique dans un espace euclidien qui possède une magnitude,mais pas de direction. Il appartient aux nombres réels.Nous aurons plus tard également besoin de dyades :Définition C.3 Une dyade est un opérateur linéaire dans un espace euclidien. Son application à unvecteur fournit un vecteur.Les trois objets, scalaires, vecteurs et dyades, sont des tenseurs dans un espace euclidien, d’ordrezéro, un et deux, respectivement. Nous supposons un espace euclidien de dimension trois dans la suite.Exemples pour scalaires, vecteurs et dyades sont la masse, la force et la dyade d’inertie, respectivement.Dorénavant, les scalaires seront écrits en lettres italiques (m), tandis que les vecteurs et dyadesseront écrites en lettres italiques grasses et avec une seule flèche pour les vecteurs ( f −→ ) ou deux flèchespour les dyades ( −→ J −→).C.1.1RepèresLes Défs. C.1 et C.3 soulèvent un problème. Ces quantités abstraites sont idéales pour le traitementsymbolique. Or, ils restent trop abstraits pour les utiliser dans une application numérique. Dans lecas d’un scalaire, ce problème n’existe pas.La solution est de définir des repères dans lesquels on exprime les vecteurs et les dyades :Définition C.4 Un repère F est défini par un trièdre de trois vecteurs qui sont orthonormaux etdirects.Ici, orthonormal veut dire que les trois vecteurs sont des vecteurs unitaires et qu’ils sont mutuellementorthogonaux. Direct signifie qu’ils obéissent à la règle de la main droite, cf. Fig. C.1.Il existe d’autres possibilités de définir des repères, mais la Déf. C.4 est la plus pratique et la pluscouramment utilisée.En utilisant un repère F A , un vecteur peut être écrit en fonction de ses composantes dans cerepère :−→v = vA,1−→ eA,1 + v−→A,2 eA,2 + v−→A,3 eA,3 (C.1)Les vecteurs unitaires, orthonormaux et directs −→ e A,1 , −→ e A,2 et −→ e A,3 définissent le repère F A .Connaissant le repère F A , il suffit maintenant d’indiquer les composantes v A,1 , v A,2 et v A,3 du vecteur−→v dans ce repère.Il est aussi possible d’écrire la même chose comme produit scalaire :⎛ ⎞−→ eA,1−→ ( ) ⎜v = vA,1 v A,2 v−→ ⎟A,3 ⎝ eA,2 ⎠−→ eA,3(C.2)Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux