Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

Annexe JRéduction de correcteursL’objectif de la réduction d’un correcteur est de minimiser le nombre d’états de ce correcteur, touten gardant le mieux possible son comportement entrée-sortie. En particulier, on souhaite préserver lastabilité et les performances du système en boucle fermée.Selon Skogestad et Postlethwaite [163], les méthodes de réduction de systèmes linéaires lesplus couramment utilisées sont les suivantes :– la troncature dans la base modale. Ici, les modes les plus rapides sont supprimés dans la basemodale ;– la résidualisation. Ici, les modes les plus rapides sont résidualisés, c’est-à-dire mis à zéro, etremplacés par leurs valeurs statiques ;– la troncature et la résidualisation dans la réalisation balancée. Ici, les modes les moins gouvernableset observables sont supprimés ou résidualisés ;– l’approximation optimale de Hankel. Cette méthode minimise la norme de Hankel 1 de l’erreurd’approximation.Du fait de leur utilisation fréquente, les méthodes précédemment mentionnées sont disponiblesdans des boîtes à outils comme la Robust Control Toolbox de Matlab.Bien que toutes ces méthodes marchent assez bien en pratique, nous aimerions décrire une autreméthode plus en détail, celle qui nous a permis d’obtenir les meilleurs résultats. Cette méthode appartientaux méthodes de réduction de modèle avec pondération fréquentielle (FWMR, angl. frequencyweightedmodel reduction). Elle est décrite en détail dans la Réf. [182]. En outre, elle est disponibledans la boîte à outils SLICOT qui est interfacée à Matlab. La pondération fréquentielle fait qu’elleest particulièrement bien adaptée à la réduction de correcteurs.L’approche fondamentale est de minimiser la norme H ∞ de l’écart entre le correcteur initial et lecorrecteur réduit, K(s) − K r (s), en prenant en compte des pondérations fréquentielles présentes sousforme de multiplicateurs de gauche, W o (s), et de droite, W i (s) :‖W o (s)(K(s) − K r (s))W i (s)‖ ∞(J.1)1. La norme de Hankel d’une fonction de transfert stable G(s) est définie comme suit : ‖G(s)‖ H = √ ρ(P Q) où Pet Q sont les gramiens de gouvernabilité et d’observabilité de G(s), respectivement357