Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

244 5. MÉTHODOLOGIE POUR PILOTAGE EN ATTITUDE/TRANSLATIONà résoudre en trois dimensions (n = 3). Nous ne pouvons donc pas espérer de trouver une méthodedirecte pour n = 30.Dans les paragraphes qui suivent, nous montrerons une méthode qui transforme ce problème enun calcul de la distance entre un point et un hyper-ellipsoïde, un problème qui peut être résolu defaçon itérative. Nous nous sommes partiellement inspirés des travaux de Nürnberg [133]. Cependant,contrairement à Nürnberg, nous sommes en mesure de démontrer que les algorithmes proposésconvergent.Afin d’alléger la notation, nous réecrirons l’hyper-ellipsoïde ε S en termes d’une matrice définiepositive R qui est une fonction de la matrice de covariance S et du facteur d’échelle k :ε S : {ε x |ε T x Rε x < 1} (5.100)avec R = 1 k 2 S−1Le problème de déterminer si l’hyper-ellipsoïde de covariance se trouve entièrement à l’intérieur dela surface de commutation peut alors être formulé comme suit :ε S ⊆ ε P (5.101)Le fait d’effectuer des transformations affines ne change rien au fait que ε S se trouve entièrementà l’intérieur de ε P . En d’autres termes, si ε S ⊆ ε P , alors le même constat est vrai pour des hyperellipsoïdesε S ′ et ε P ′, images des hyper-ellipsoïdes ε S et ε P après une même transformation affine :ε S ′ ⊆ ε P ′.Ce constat nous permet de transformer le problème initial en un problème simplifié en passant parune séquence de transformations. Les transformations sont appliquées aux deux hyper-ellipsoïdes ε Pet ε S de la même façon.(a) Problème initial(b) Après la première transformationFigure 5.32 – Hyper-ellipsoïde de Lyapunov (bleu tireté-pointillé) et de covariance (vert continu)initiaux et après la première transformation pour le cas d’une ellipse (n = 2)Nous partons des hyper-ellipsoïdes x T P x = 1 (ε P ) et (x−X) T R(x−X) = 1 (ε S ), cf. Fig. 5.32(a),Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux