Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

4.5 Contrôle modal auto-séquencé 161conditions nécessaire et suffisante, cf. [72], s’écrit comme suit :ρ(Q) < 1 (4.57)Ici, ρ(Q) est le rayon spectral de la matrice Q, c’est-à-dire le maximum des modules des valeurspropres de la matrice Q :ρ(Q) = max |λ i (Q)| (4.58)iIl existe d’autres critères, en particulier des critères basés sur la valeur singulière structurée,cf. [110]. Or, nous ne développerons pas les autres critères à cause des difficultés liées au calcul de lavaleur singulière structurée évoquées ci-dessus.Dans notre cas, il faut que le rayon spectral ρ(K 11 ∆) soit inférieur à 1. Comme pour le conditionnementde la matrice I n∆ −K 11 ∆, il est possible de calculer le rayon spectral pour les valeurs possiblesde δ 1 = sin ν et δ 2 = cos ν.La Fig. 4.20 montre le rayon spectral ρ(K 11 ∆) du correcteur à trois axes pour une anomalie vraieν dans l’intervalle [0, 2π]. Le rayon spectral est supérieur à 1 sur la plupart de l’orbite. En d’autrestermes, l’algorithme d’itération de Richardson ne converge pas à ces endroits-là.2rayon spectral de K 11∆1.510.50 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2ν/πFigure 4.20 – Rayon spectral ρ(K 11 ∆) du correcteur à trois axesLes Figs. 4.21 et 4.22 montrent les rayons spectraux ρ(K 11 ∆) des correcteurs dans le plan orbitalet hors-plan, respectivement. Ici, les pires cas, c’est-à-dire les rayons spectraux les plus grands, sontenviron 0, 7 · 10 −3 pour le correcteur dans le plan orbital et 2 · 10 −4 pour le correcteur hors-plan.Clairement, l’itération de Richardson ne pose aucun problème de convergence.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux