Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

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232 5. MÉTHODOLOGIE POUR PILOTAGE EN ATTITUDE/TRANSLATIONdéveloppement de ce critère de commutation, nous nous sommes inspirés des travaux de Biannic [20]et de Johansson [80].Pour dériver l’expression mathématique de la surface de commutation, seulement la dynamique deretour d’état A − B 2 K c est considérée pour l’instant. Nous supposons que la dynamique d’estimationA − K f C 2 soit assez rapide pour que les erreurs d’estimation soient négligeables. En outre, noussupposons qu’il n’existe pas de bruit. Nous montrerons plus tard comment le bruit peut être pris encompte. La dynamique de retour d’état peut être écrite comme suit :ẋ = (A − B 2 K c )x (5.61)x ∈ R n est le vecteur d’état de la dynamique de retour d’état. Il est indispensable de savoir queA − B 2 K c est la dynamique du système en boucle fermée après la commutation.Les champs de vue de tous les capteurs (dont les champs de vue sont limités) sont donnés par larelation suivante :C i x ≤ l i , i ∈ {1, ..., n vue } (5.62)C i ∈ R 1×n est une seule ligne de la matrice de sortie. l i ∈ R est positif et représente la limite duchamp de vue. Le cas C i x ≥ l i avec un l i négatif peut simplement être traduit dans la même formeen multipliant par −1.Des matrices normalisées C vue,i peuvent être obtenues en divisant les matrices de sortie C i descapteurs par les limites des champs de vue l i correspondants :C vue,i = 1 l iC i (5.63)Il vient :C vue,i x ≤ 1, i ∈ {1, ..., n vue } (5.64)Une inégalité quadratique peut être obtenue en élevant l’Éq. (5.64) au carré :x T C T vue,iC vue,i x ≤ 1, i ∈ {1, ..., n vue } (5.65)Cette forme quadratique est suffisante pour exprimer des champs de vue symétriques en une seulefois, c’est-à-dire qu’il devient inutile d’exprimer la limite positive l i et la limite négative −l i séparément.Nous appelons V i ⊆ R n l’ensemble décrit par la contrainte associée à l’indice i :V i : {x|x T C T vue,iC vue,i x ≤ 1} (5.66)L’ensemble V est l’intersection de tous les ensembles V i :V = ⋂ iV i , i ∈ {1, ..., n vue } (5.67)Cette nomenclature devient plus claire dans la Fig. 5.23(b).Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
5.5 Commutation entre correcteurs 233Un constat important qui peut être intéressant pour d’autres applications est que des champs devue circulaires ou elliptiques peuvent également être pris en compte. Dans ce cas, la matrice C T vue,i C vue,idans l’Éq. (5.65) doit être remplacée par la matrice M vue,i. x T M vue,i x = 1 décrit alors la limite duchamp de vue circulaire ou elliptique. M vue,i est une matrice symétrique et semi-définie positive.En principe, des champs de vue très variés peuvent être pris en compte en les approximant avecdes droites, des cercles et des ellipses.La seule restriction et source de conservatisme en même temps est que les champs de vue doiventêtre symétriques par rapport à l’origine. Un champ de vue asymétrique permet toujours une solution,mais seulement la limite la plus proche de l’origine sera pris en compte. La raison est que la surface decommutation que nous utiliserons dans la suite est par définition symétrique par rapport à l’origine.Ce fait est illustré dans la Fig. 5.26.Figure 5.26 – Conservatisme dû au champ de vue asymétrique du capteur 2. Du fait de sa symétriepar rapport à l’origine, la surface de commutation ne change pas par rapport au cas symétrique (lignetiretée).Si seulement des champs de vue linéaires (contrairement à circulaire ou elliptique) sont utilisés,les V i sont des polyèdres dans l’espace R n . L’intersection V de tous les ensembles V i n’est pas unpolytope en général car nous n’avons pas de garantie que l’ensemble des champs de vue est borné. Parexemple, les champs de vue que nous utilisons ne concernent pas les vitesses et les vitesses angulaires.Par conséquent, les directions associées aux vitesses et vitesses angulaires ne sont pas bornées. Pourla même raison, il ne s’agit pas d’un parallélotope non plus, même si les limites positives et négativesdes champs de vue sont parallèles.Après avoir trouvé une représentation mathématique pour les champs de vue des capteurs individuels,nous cherchons une surface de commutation. Cette surface doit remplir plusieurs conditions :– la surface de commutation doit être située entièrement à l’intérieur des limites des champs devue ;Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux
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