Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

340 G. THÉORÈME DE FLOQUETLa périodicité de la dynamique mène à la périodicité de la matrice de transition Φ :Φ(t + T, t 0 + T ) = Φ(t, t 0 ) (G.6)Du fait de la linéarité de la dynamique (G.1), l’évolution de la matrice de transition obéit àl’équation différentielle suivante :ddt Φ(t, t 0) = A(t)Φ(t, t 0 ) (G.7)C’est grâce à l’équation différentielle (G.7) que nous pouvons calculer des matrices de transitionΦ(t, t 0 ). Plus précisément, à partir de la condition initiale Φ(t 0 , t 0 ) = I n , nous pouvons intégrerl’Éq. (G.7) sur l’intervalle [t 0, t] et obtenir Φ(t, t 0 ).Le théorème de Floquet [150] affirme qu’il existe deux matrices P (t, t 0 ) et Q ayant les propriétéssuivantes :– Q ∈ R n×n est une matrice constante ;– P (t, t 0 ) ∈ R n×n est une matrice non-singulière et périodique avec la même période T que ladynamique, c’est-à-dire que P (t, t 0 ) obéit à la relation P (t + T, t 0 ) = P (t, t 0 ) ;– le changement de coordonnées à temps variant ξ = P (t, t 0 ) −1 x avec ξ ∈ R n transforme le systèmepériodique (G.1) en le système stationnaire suivant :˙ξ = Qξ (G.8)Ce changement de coordonnées s’appelle transformée de Floquet-Lyapunov. Elle transformela dynamique linéaire périodique en une dynamique linéaire stationnaire (LTI, angl. linear timeinvariant).Dans la suite, nous montrerons comment la matrice Q peut être obtenue à partir de la dynamique(G.1) et quel rôle Q joue dans l’analyse de stabilité d’une dynamique linéaire périodique. Nous ne nousoccuperons pas de la matrice P (t, t 0 ) dont l’évolution temporelle peut être obtenue grâce à l’équationdifférentielle suivante :ddt P (t, t 0) = A(t)P (t, t 0 ) − P (t, t 0 )Q (G.9)La relation entre la matrice Q et la matrice de transition Φ est la suivante :R = e QT (G.10)avec R = Φ(t 0 + T, t 0 )On appelle les valeurs propres λ k , k = 1, . . . , n de la matrice Q les exposants caractéristiques etles valeurs propres µ k , k = 1, . . . , n de la matrice R les multiplicateurs caractéristiques. Il existe lesrelations suivantes entre λ k et µ k :µ k = exp(λ k T ), k = 1, . . . , n (G.11)λ k = 1 T log µ k, k = 1, . . . , nCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux