Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

318 C. NOTIONS DE BASE EN CINÉMATIQUE ET EN DYNAMIQUEProduit vectorielLe produit vectoriel associe un vecteur à deux vecteurs. Le module du vecteur résultant de ceproduit est la surface du parallélogramme formé par les deux vecteurs :−→ v3 = −→ v 1 ∧ −→ v 2 = ‖v 1 ‖‖v 2 ‖ sin ∠( −→ v 1 , −→ v 2 ) e −→avec e −→ · −→ v 1 = 0 et e −→ · −→ v 2 = 0(C.19)Les vecteurs −→ v 1 , −→ v 2 et −→ v 3 obéissent à la règle de la main droite.En utilisant les repères F 1 , F 2 et F 3 pour exprimer les vecteurs −→ v 1 , −→ v 2 et −→ v 3 , respectivement,nous obtenons :−→ v3 = F T 3 v 3 = (v T 1 F 1 ) ∧ (v T 2 F 2 ) = (v T 1 F 1 ) ∧ (F T 2 v 2 ) = (v T 1 F 1 ) ∧ (F T 1 C 12 v 2 ) (C.20)= v T 1 F 1 ∧ F T 1 C 12 v 2 = F T 1 v × 1 C 12v 2v 3 = F 3 F T 1 v × 1 C 12v 2 = C 31 v × 1 C 12v 2Ici, v × 1 signifie la matrice anti-symétrique associée à la matrice colonne v 1, cf. Annexe B.Le produit vectoriel a les propriétés suivantes :−→ v1 ∧ −→ v 2 = − −→ v 2 ∧ −→ v 1−→ v1 ∧ −→ v 1 = −→ 0(C.21)Le produit dyadique (ou produit extérieur) de deux vecteurs donne une dyade :−→ D−→3 = −→ v 1 ⊗ −→ v 2(C.22)La projection de la dyade −→ D −→3dans le repère F 3 et des vecteurs −→ v 1 et −→ v 2 dans les repères F 1 etF 2 , respectivement, fournit :−→ D−→3= F T 3 D 3 F 3 = (v T 1 F 1 ) ⊗ (v T 2 F 2 ) = (v T 1 F 1 ) ⊗ (F T 1 C 12 v 2 ) (C.23)= F T 1 v 1 v T 2 C 21 F 1D 3 = F 3−→ D−→3 F T 3 C 31 v 1 v T 2 C 21 C 13 = C 31 v 1 v T 2 C 23C.1.3DérivéesOutre le vecteur de position, que nous appellerons −→ s dans la suite, nous nous intéresserons auvecteur de vitesse −→ v qui est la dérivée première du vecteur de position et au vecteur d’accélération−→a qui est la dérivée seconde du vecteur de position ou la dérivée première du vecteur de vitesse. Ici,il est important de calculer les dérivées dans un repère inertiel, ce qui est représenté par l’indice i :−→ dv = dt∣ −→ s (C.24)i∣−→ d 2 ∣∣∣ia = −→ dt 2 s = d dt∣ −→ viCommande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux