Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

2.3 Le mouvement relatif en orbite terrestre 55Le carré de la matrice antisymétrique ω × ref vaut :⎛− ˙Ω 2 (1 − s 2˜ν s2ω × i ) − 2 ˙Ω ˙˜νc i − ˙˜ν 2˙Ω2 s˜ν c˜ν s 2 i˙Ω 2 s˜ν s i c i + ˙Ω ˙˜νs˜ν s iref ω× ref= ⎝ ˙Ω 2 s˜ν c˜ν s 2 i − ˙Ω 2 (1 − c 2˜ν s2 i ) − 2 ˙Ω ˙˜νc i − ˙˜ν 2 ˙Ω2 c˜ν s i c i + ˙Ω ˙˜νc˜ν s i⎞⎠= ˙Ω 2 ⎛⎝˙Ω 2 s˜ν s i c i + ˙Ω ˙˜νs˜ν s ˙Ω2 i c˜ν s i c i + ˙Ω ˙˜νc˜ν s i − ˙Ω 2 s 2 is 2˜ν s2 i − 1 s˜νc˜ν s 2 ⎞⎛⎞i s˜ν s i c i−2c i 0 s˜ν s is˜ν c˜ν s 2 i c 2˜ν s2 i − 1 c˜νs i c i⎠ + ˙Ω( ˙ω + ˙ν) ⎝ 0 −2c i c˜ν s i⎠ (2.82)s˜ν s i c˜ν s i 0s˜ν s i c i c˜ν s i c i −s 2 i⎛ ⎞ ⎛1 0 00 1 0 ⎠ − ˙ν 2 ⎝0 0 0− ˙ω( ˙ω + 2 ˙ν) ⎝1 0 00 1 00 0 0La matrice antisymétrique associée à l’accélération angulaire ˙ω × refobéit à l’expression suivante :˙ω × ref=⎛⎝0 −¨˜ν − ˙Ω ˙˜νs i s˜ν¨˜ν 0 − ˙Ω ˙˜νs i c˜ν˙Ω ˙˜νs i s˜ν˙Ω ˙˜νs i c˜ν 0⎛= ˙Ω( ˙ω + ˙ν) ⎝0 0 −s i s˜ν0 0 −s i c˜νs i s˜ν s i c˜ν 0⎞⎠⎞⎠ (2.83)⎞⎛⎠ + ¨ν ⎝Finalement, le terme ω × ref ω× ref + ˙ω× refpeut être écrit comme suit :0 −1 01 0 00 0 0⎛s 2˜ν s2ω × ref ω× ref + ˙ω× ref= ˙Ω 2 i − 1 s˜νc˜ν s 2 ⎞i s˜ν s i c i⎝ s˜ν c˜ν s 2 i c 2˜ν s2 i − 1 c˜νs i c i⎠ (2.84)s˜ν s i c i c˜ν s i c i −s 2 i⎛−2c i 0 s˜ν s i⎞+ ˙Ω( ˙ω + ˙ν) ⎝ 0 −2c i c˜ν s i⎠s˜ν s i c˜ν s i 0⎛ ⎞ ⎛1 0 01 0 0− ˙ω( ˙ω + 2 ˙ν) ⎝ 0 1 0 ⎠ − ˙ν 2 ⎝ 0 1 00 0 00 0 0⎛+ ˙Ω( ˙ω + ˙ν) ⎝0 0 −s i s˜ν0 0 −s i c˜νs i s˜ν s i c˜ν 0⎞⎛⎠ + ¨ν ⎝⎞⎠⎞⎠0 −1 01 0 00 0 0Ces termes étant d’une complexité excessive, nous sommes obligés de trouver le moyen de lessimplifier. Un premier moyen est d’éliminer les termes d’ordre supérieur, c’est-à-dire les termes danslesquels apparaît le carré de la constante J 2 . Selon l’Éq. (2.24), cette constante apparaît de façon multiplicativedans les termes ˙Ω et ˙ω, mais aussi dans les expressions de ˙ν et de ¨ν, cf. Éqs. (2.25) et (2.79).Nous avons le droit de négliger J 2 2 à cause de la faible valeur de J 2 (cf. Annexe A).Dans l’expression de ω × ref , il n’y a aucune occurrence de J2 2. Or, dans l’expression de ω × ref ω× ref + ˙ω× ref ,il existe de multiples occurrences de J 2 2 de par la présence de termes comme ˙Ω 2 et ˙Ω ˙ω. Ceci nous⎞⎠Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux