Commande boucle fermée multivariable pour le vol en ... - ISAE

100 3. MODÈLE COUPLÉ EN TRANSLATION ET EN ROTATION−→M−→i est une dyade représentant l’opérateur de rotation autour du vecteur −→ n i avec l’angle π oul’opérateur de réflexion au miroir défini par le vecteur normal −→ n i . Dans notre cas précis, l’image−→ nT,r,0 du vecteur −→ n T est :−→ nT,r,0 =(2 −→ n i,0 ⊗ −→ n i,0 − −→ 1 −→)· −→ n T = −→ M −→i,0 · −→ n T (3.84)−−−−−−→Le vecteur I D,0 J D,0 peut être calculé de la façon suivante :−−−−−−→I D,0 J D,0 =−→ rj,0 + −→ d j,0 − −→ r i,0 − −→ d i,0 (3.85)∥−−−−−−→ ∥ Il existe deux manières de déterminer sa longueur ∥I D,0 J D,0∥.−−−−−−→– la première est de calculer la racine carrée du produit scalaire du vecteur I D,0 J D,0 avec luimême :∥−−−−−−→ ∥ (−−−−−−→ −−−−−−→ ) 1/2∥I D,0 J D,0∥= I D,0 J D,0 · ID,0 J D,0[(= −→rj,0+ −→ d j,0 − −→ r i,0 − −→ ) (d i,0 · −→rj,0+ −→ d j,0 − −→ r i,0 − −→ )] 1/2d i,0(3.86)∥−−−−−−→ ∥ −−−−−−→– la longueur ∥I D,0 J D,0∥du vecteur ID,0 J D,0 peut être déterminée en calculant le produit−−−−−−→scalaire entre I D,0 J D,0 et son vecteur unitaire qui est donné par l’image−→ nT,r,0 de −→ n T :∥−−−−→ ∥ −−−−−−→ −→∥I D J D∥= ID,0 J D,0 · M−→i,0 · −→ n T =(−→rj,0+ −→ d j,0 − −→ r i,0 − −→ d i,0)· −→ M −→i,0 · −→ n T (3.87)Or, la racine carrée représente un sérieux désavantage pour les calculs qui suivront (par exemplela linéarisation). C’est pour cela que nous procéderons de la deuxième manière.Comme le montre la Fig. 3.11 (page 98), les points de référence de la formation et des vaisseauxrecombinateur et sidérostat en configuration réelle sont dénommés C, J et I, respectivement. Lespositions des charges utiles (centres du miroir et du recombinateur) sont I D et J D .Quant à la longueur du rayon, nous sommes obligés de choisir un autre rayon parmi les rayonsdont le front d’onde est composé. De fait, le rayon commençant au point B est situé tel que, aprèsréflexion, il est intercepté par le recombinateur en configuration réelle. Le point où le rayon est reflétén’est plus le centre du miroir, mais le point S, cf. Fig. 3.11.La longueur l ij du rayon en configuration réelle s’écrit alors comme suit :∥−−→ ∥ ∥ ∥∥SJD −−−→ ∥ l ij = BS + SJ D = ∥BS ∥ + ∥ (3.88)−−−→Le vecteur SJ D peut être écrit comme suit :−−−→SJ D =−→ rj + ∆ −→ r j + −→ d j − −→ r i − ∆ −→ r i − −→ −−→d i − I D S(3.89)−−→Le vecteur I D S correspond au déplacement du point de réflexion S sur le miroir, cf. Fig. 3.11.Commande boucle fermée multivariable pour le vol en formation de vaisseaux spatiaux