t. I (PL 63)

llFi3 DE ARITHMETICA LIB. II. H34
secundum georaetricam scilicet proporlionem. Uade A ximi et medii contra dilfereutiam medii atque par-
formai solidoR tria intervalla dicuntur liabere. Est
enim unura intervallum a primo ad secundum, et a
secundo ad tertium, et a tertio ad quartum, qucc est
scilicet postrema distautia. RectcC igitur et plana; li-
gurto duobus intervallis et solidee tribus contineri di-
cuntur. Sint enim duo tetragoni, 4 scilicet et 9, horum
igitur unus tantum medius in eadem propor-
tione constitui potest. iNamque senarius ad 4 sesqui-
alter est, et 9 ad senarium eodem modo sesquialter.
Hoc autem idcirco evenit, quod singula latera, singulorum
tetragonorumefticiuntsenariammedietatem.
Namque quatornarii tetragoni latus binarius est,
novenarii ternarius; bi ergo multiplicati senarium
perfecerunt. Bis enim tres senarius est. Et quotienscunque,
datis duobus tetragonis, eorum medietatem
volumus invenire, latera eorum multiplicanda sunt,
et qui ex bis procreabuutur, medietas est. Si autem
cubi sint, ut 8 et 27, du£e tantum inter bos eadem
proporlione medietates constitui queunt, 12 scilicet
et 18, namque 12 ad 8, et 18 ad 27, sesquialtera tan
tum proportione junguntur. lu bis quoque eadem laterum
ralio est. Namque ex uno cubo qui proi)in-
quior est, nna medietas duo latera colligit; ex al-
ternatim vero posito,unum. In alia quoquemedietate
idem est. Ponantur enim duo cubi, et in medio eorum
duse medietates quas superius diximus, 8, 12,
18, 27, octonarii igitur latus est binarius, bis enim
bini bis octonarium .feoerunt. Ternarius vero 27 cu-
bi latus est. Ter enim tres ter 27 restituunt. Medietas
igitur quffi juxta octonarium est, id est 12, mutua-
tur duo latera ex propiuquo sibi octonario. et aliud
unum latus ex altrinsecus posito 27 cubo. Bis enim
biniter 12 pandunt. Et 18 eadem ratione duo latera
a propinquo sibi 27 cubo colligit, et unum ab altrin-
secus posito octonario. Tres enim ter bis 18 conclu-
dunt. Hoc autem universaliter speculandum est, si
tetragonus tetragonum multiplicet, sine dubio tetra-
gonus provenit. Sin vero parte altera longior tetragonum
multiplicet, vel tetragonus parte altera lon-
giorem, nunquam tetragonus, sed semper antelongior
crescit. Rursus si cubus cubum multiplicaverit, cubi
formaconficitur. Sivero partealteralongioremcubum,
vel cubus parte altera longiorem, nunquam cubus
procreabitur, hoc scilicet secundum similitudinem
paris atque imparis. Par enim parem si multiplicet,
semper par nasoitur, et impar imparem si multiplicct,
impar contiuuo procreatur. Si vero imparparem,
vel si par imparem multiplicet, par semper exoritur.
Hoc autem facilius cognoscitur ex lectione Platonis
in libris de Republica, eo loco qui nuptialis dicitur,
quem ex persona Musarum pbilosophus introducit.
Sed nunc ad tertiam medietatem redeundum est.
CAPUT XLVII.
De harmonica medietate ejusque proprietaiibus.
Harmonica autem medietas est qua! neque eisdem
differentiis, nec tequis proportionibus constituitur,
sed illa in qua quemadmodum raaximus terminus ad
parvissimum terminum ponitur; sic differentia ma-
vissimi comparatur. Ut si sint 3, 4, 6, vel si 2, 3, C.
Senarius enim quaternarium sua turtia parte superat,
id est duobus; quaternarius vero ternarium sua quarta
parte supervenit, id est uno ; et senarius ternarium sua
medietate, id est tribus, ternarius vero binarium sua
parte tertia, id est unitate transcendit. Quare in bis
neque eadem proportio terminorum est, neque suiit
esedem differentiae. Est autem quemadmodum maximus
terminus ad parvissimum terminum, sic diffe-
rentia maximi et medii ad dilferentiam medii atque
postremi. Namque in bac proportione, qu;e esl, 3, 4,
6, major terminus, id est senarius ad parvissimum
terminum ternarium duplus est, et diflerentia ma-
xinii et raedii, id est senarii etj quaternarii, duo sci-
licet ad differentiam medii et ultimi, id est quater-
narii atque ternarii, quEe est unitas, dupla perspicitur.
Sed boc quoque subjecta descriptione mon-
stratur :
Differentife duplfc. DilTereuti;c tripla;.
Termini dupli
I I
Termini tripli
Habet autem proprietatem, quemadmodum dictum
C est, contrariam arithmeticai [medietati. Inilla enim,
in minoribus terminis major erat proporlio, in majoribus
minor; in bac vero, in majoribus quidem
terminis major est proportio, in minoribus vero mi-
nor. Namque in hac dispositione 3, 4, 6, tres ad
quatuor comparati sesquitertium habitudinera, sex
vero ad quatuor sesquialteram reddunt ; sed major
est proportiosesquialtera a sesquitertia, tantum quantum
pars tertia medietate transcenditur. Juste igitur
medietas qusedam geometrica proprieque esse proportionalitas
judicatur, scilicet inter eam ubi in majoribus
terminis minor est proportio, et minoribus
major, et inter eam ubi in majoribus major est, in
minoribus minor. Illa est enim vere proportionali-
tas quse, medietatis quodammodo locum obtinens, et
in majoribus et in minoribus, sequalibus proportionumcomparationibuscontinetur.
Hocquoque signum
est, duarum extremitatum mediamesse quodammodo
geometricam proportionem. Namque in aritbmetica
proportione, medius terminus eadem sua parte, et
minorem pra;cedit et a majore pra;cedilur, sed alia
parte minoris, alia vero parte majoris. Sit enim
arithmetica dispositio 2, 3, 4. Ternarius igitur numerus
binarium tertia suaparte praecedit, id est uno,
et a quaternario tertia sua parte pra^ceditur, id est
uno. At vero ternarius non eadem parte minoris minorem
vincit, vel majoris a majore superatur. Namque
minorem, id est binarium, uno superat, id est
ipsius medietate binarii, a.'qnaternario vero uno re-
linquitur, quse pars quateraarii quarta est. Recte