t. I (PL 63)

1219 AN. MANL. SEV. BOETII 1
consonantiam tenens. Nimc igitur quas sesquioctavas
proportiones ad 102 duobus numeris continentes
ratoordine collccemus; liant igitur ter 72, id est 216.
Rursus ter 81, qui sunt 243, qui inter duos supra
scriptos terminos collocentur lioc modo : 192, 216,
213,250.
tonu?
192"" r2tKDialessaron.
In hac dispositione proportionum, primus numerus
ad postremuni diatessaron constituit consonautiam.
Idem vero primus ad seciindum, et secundus ad ter-
tium geminos " constituunt tonos. Constat igitur spatium
quod relinquitur ex 243 ad 236, in quibus mi-
nirai semitonii forma consistit.
CAPUT XXVIII.
Demonstratioiiesnonessc.Vif^iad 236 toni medietatem.
Approbo igitur 233 ad 256 distantiam non esse integram
toni mediidimensionem. Etenim ducentorum
quadraginta trium et ducentorum 36, dilFerentia 13
tantum unitatibus continetur. Qui tredecim minus
quidem quam minoris octavam decimam, plus vero
quam nonam decimam obtinent partem. Si enim
octiesdecies tredecim ducas, efticies 234, qui 243
nullo modo ajquabit ; si decies novies multiplices,
supervadent, cum oporteat omne semitonium, si tamen
integrum toni dimidium tenet, inter sextam decimam
partemac septimam decimam coUocari. Quod
posterius demonslrabitur. Nunc illud liquebit talem
semitonii distantiam sibimet geminatam, unum toni
spatium non posse complere. Age enim ut sese 236
ad 243 habent, tales duas sibimet continuas propor-
tioues, secundum superius descriptam regulam disponamus
; 200 enim 50 et et 6 in semetipsos multipli-
cemus, et sit maximus terminus 65336. Item 243
propria nunierositate concrescant, et sit minimus
terminus 59049. Rursus igitur 256 ad ducentorura
43
i> multitudinem concrescant. Erit igitur numerus
62208; hicigitur medius collocetur hoc modo :
63336 622(18 39849
In eadem igitur sunt proportione ducenti 56 et 243.
In qua 65536 ad 62208 ; et item 62208 ad 59049.
Sed maximus eorum terminus, qui est 65536, ad minimum
qui est 59040, unum integrum non c efficit
touum. Quod si primi ad secundum proportio, quae
est a^qua secundi ad tertium proportioni, integri esse
semitonii probaretur, duo dimidia juncta unum ne-
cessario eflicerent tonum. Nunc autem cum non sit
extremorum terminorum sesquioctava proportio,
manifestum est hai duo spatia proprie tonorum dimidia
non videri. Quidquid enim cujuscunque est
dimidium.id sidupliceturillud eflicit, i cujus dicitur
esse dimidium. Si vero illud implere uon possit ge-
minata particula, minus est parte dimidia. Si vero
220
A superfluat ac supervadat, plus est parte dimidia. "
Praeterea probabuntur 93336 non facere sesquioctavam
proportionem. Si 36049 unitatibus comparentur, si
octava pars 39049, eisdem secundum eas quse in
arithmeticis dictae sunt regulas aggeratur. Quse quoniam
integris numeris non consistit, idcirco eamdem
octavampartemrelinquimus lectorum diligentiae
computandam. Liquet igitur eam proportionem quae
in 236 et 243 est constituta, non esse integrumdimidium
toni; quocircaid quod vere semitonium nancupatur,
pars toni minor est quam dimidia.
I 78732
Differentiae
13196 3328 3159
63536 62208 59049
t (Pinxissem totum spatium toni. At minimus termi-
nus puta 39049 praecedentem sesquioctavam non ha-
bet, cum ipse sit qumtus sesquioctavus, quinti octu-
pli. Ut id infigurula ante picta eomperies.)
CAPUT XXIX.
De majore parte toniin quibus minimis numeris constet.
G Reliqua igitur pars, quce major est, apotome nun-
cupatur a Graecis, a nobis vero potest vocari decisio.
Id enim natura fert, ut quotiens aliquid secatur, ita
ut non asquis partibus dividatur, quanto minor pars
dimidio minor est, tanto major pars eadem, quse
auctiorest, dimidiumvincat. Quantum igitur semitonium
minus integro dimidio toni minus est, tanto
apotome toni integrum superat dimidium et vincit.
Et quoniam docuimus semitonium in 236 et 243
principaliter stare, nunc ea quee apotome dicitur, in
quibus possit minimisconstare numeris approbemus.
Si igitur 243 partemrecipere octavam possentcumad
eum sesquioctavus numerus comparetur, tunc 256
habitudo ad sesquioctavam summam minimi numeri
comparata, apotomennecessaria ratione monstraret.
Nunc vero quoniam ei pars octava deesse monstratur,
utrique numeri octies liant. Et ex 243 quidem octies
multiplicatis lit numerus 1944. Quibus si propria
conferatur octava, quisunt243, Uent 2187. Rursus
236 per octonarium crescant, fient igitur 2048. Atque
hic suprasci'iptorum terminorum in medio coUoce-
tur.
Semitoniuiu minus 1 |