المعلم رياضيات الصف 12

y
8
4
(-3, -1)
(3, 2)
−4 O 4 8 12x
−4
(9, -1)
(3, -4)
−8
O
y
(1, -2)
(3, 2)
56 الوحدة 2 القطوع المخروطية
حد ِّ د خصائص القطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي،‏ ثم مث ِّل منحناه بياني ّ ًا:‏
_
_
(x - 3) 2
+ (y + 1 ) 2
= 1 (a
36 9
المعادلة مكتوبة على الصورة القياسية،‏ حيث
. h = 3, k = -1, a = √ Ç 36 = 6, b = √ Ç 9 = 3, c = √ ÇÇÇ 36 - 9 = √ Ç 27 = 3 √ Ç 3
استعمل هذه القيم؛ لتحديد خصائص القطع الناقص.‏
h) 2 (x - مقسوم ا ل a 2
أفقي االتجاه:‏ k) (h,
-1) (3, المركز:‏ (h ± c, k) -1) , 3 (3 ± 3 √ Ç
البؤرتان:‏ k) (h ± a,
-1) (-3, و -1) (9, الرأسان:‏ b) (h, k ±
-4) (3, و 2) (3, الرأسان المرافقان:‏ y = k طو المحو االر 2a
-1 = ،y وطوله 12 المحور األكبر:‏ x = h طو المحو االسر 2b
= 3 ،x وطوله 6 المحور األصغر:‏ عيّن المركز والرؤوس والبؤرتين والمحورين،‏ ثم ارسم منحنى يمر بالرؤوس
ويكون متماثالً‏ حول المحورين األكبر واألصغر.‏
4 x 2 + y 2 - 24x + 4y + 24 = 0 (b
اكتب المعادلة على الصورة القياسية أوالً‏ .
المعادلة االسلية
جم الحود المسابة
1
4 x 2 + y 2 - 24x + 4y + 24 = 0
(4 x 2 − 24x) + ( y 2 + 4y) = -24
ل 4( x 2 − 6x) + ( y 2 + 4y) = -24
المربعي م 4( x 2 - 6x + 9) + ( y 2 + 4y + 4) = -24 + 4(9) + 4
وبس ل 4(x - 3 ) 2 + ( y + 2) 2 = 16
_(x - 3 ) 2
+ (y + 2 ) 2
= 1 _ اس الطري ل 16
4 16
المعادلة الآن مكتوبة على الصورة القياسية،‏ حيث:‏
. h = 3 , k = -2 , a = √ Ç 16 = 4 , b = √ Ç 4 = 2 , c = √ ÇÇÇ 16 - 4 = √ Ç 12 = 2 √ Ç 3
استعمل هذه القيم لتحديد خصائص القطع الناقص.‏
k) 2 (y - مقسوم ا ل a 2
رأسي االتجاه:‏ k) (h,
-2) (3, المركز:‏ (h, k ± c) ) 3 (3, -2 ± 2 √ Ç
البؤرتان:‏ a) (h, k ±
-6) (3, و 2) (3, الرأسان:‏ k) (h ± b,
-2) (5, و -2) (1, الرأسان المرافقان:‏ x = h طو المحو االر 2a
= 3 x ، وطوله 8 المحور األكبر:‏ y = k طو المحو االسر 2b
-2 = y ، وطوله 4 المحور األصغر:‏ عيّن المركز والرؤوس والبؤرتين والمحورين،‏ واستعن ببعض النقاط األخرى
التي تحقق معادلة القطع الناقص،‏ ثم ارسم منحنى يمر بالرؤوس ويكون
متماثالً‏ حول المحورين األكبر واألصغر.‏
تحقق من فهمك
تحدد خصا‏ص الق النا‏ص وتميل منحنا بيايا
x
(5, -2)
(3, -6)
x 2 + 4 y 2 + 4x - 40y + 103 = 0 (1B _ (x - 6 ) 2
+ _ (y + 3 ) 2
= 1 (1A
9 16
اإتا الق النا‏ص
اإا ا (x - h) 2 مقسوم ا
ل a 2 السو القياسية
لمعادلة القط الا
و االر المحو اإ
اقيا اما اإا ا (y - k ) 2
مقسوم ا ل اإ a 2 المحو
االر و ا‏سيا ي
ا دام a 2 > b 2
(1A
الاتجاه:‏ رأسي
المركز:‏ -3) (6, ،
البؤرتان:‏ ) Ç √ 7 -3± (6, ،
الرأسان:‏ 1) (6, و َ -7) (6, ،
الرأسان المرافقان:‏ (3- ,9) َو
، (3, -3)
المحور الأكبر:‏ = 6 x ،
المحور الأصغر:‏ -3 = y
O
y
_(y + 3)2
_
16
(x - 6)2
+
9
x
= 1
(1B
الاتجاه:‏ أفقي
المركز:‏ ) 5 (-2, ،
، (-2 ±
_ √ Ç 3
البؤرتان:‏ ) 5 2 ,
الرأسان:‏ 5) (-1, و َ 5) (-3, ،
الرأسان المرافقان:‏ (4.5 ,2-)
و َ 5.5) (-2, ،
المحور الأكبر:‏ = 5 y ،
المحور الأصغر:‏ -2 = x
O
y
x 2 + 4y 2 + 4x- 40y+ 103 = 0
x
التقو التون
استعمل تدريبات ‏”تحقق من فهمك“‏ التي
تلي كل مثال؛ للتحقق من استيعاب الطالب
للمفاهيم.‏
ما اإصاف
حد ِّ د خصائص القطع الناقص
المعطاة معادلته في كل مما يأتي،‏ ثم
مث ِّل منحناه بيانيًّا:‏
__ (x + 2) 2
2
(y - 1)
+
__
9 4
= 1 (a
االتجاه:‏ أفقي
المركز:‏ 1) (-2,
البؤرتان:‏ 1) √ Ç 5 , (-2∓
الرأسان:‏ 1) ،(1, 1) (-5,
الرأسان المرافقان:‏ (3 ,2-)،
(-2, -1)
المحور األكبر:‏ = 1 y ، وطوله 6
المحور األصغر:‏ -2 = x ، وطوله 4
(−5, 1)
(−2, 3)
C
O
(−2, −1)
y
(1, 1)
4x 2 + 24x + y 2 - 10y - 3 = 0 (b
x
االتجاه:‏ رأسي
المركز:‏ 5) (-3,
البؤرتان:‏ ) 3 √ Ç 4 (-3, 5 ∓
الرأسان:‏ -3) ،(-3, 13) (-3,
الرأسان المرافقان:‏ (5 ,7-)،
(1, 5)
المحور األكبر:‏ -3 = x ، وطوله 16
المحور األصغر:‏ = 5 y ، وطوله 8
1
(−3, 13)
y
(−7, 5)
C (-3, 5)
(1, 5)
O
x
(−3, 3)
56 الوحدة 2 القطوع المخروطية