المعلم رياضيات الصف 12

سر الداد المربة وسمتها واإاد واا وجورا تُعدّ‏ الصورة القطبية للعدد المركب،‏ وصيغ
المجموع،‏ والفرق لكل من دالتي الجيب وجيب التمام مفيدةً‏ للغاية في ضرب األعداد المركبة وقسمتها.‏ ويمكن
اشتقاق صيغة ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية على النحو الآتي:‏
الو القطبية للعدد المركبي z 2 z 1
الأوا
جم الحدود اليلية والحقيقية وابد i 2 ب 1-
اأر i عام مركا
مطابقا جي الممو وجي ما الممو
z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) · r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )
= r 1 r 2 (cos θ 1 cos θ 2 + i cos θ 1 sin θ 2 + i sin θ 1 cos θ 2 + i 2 sin θ 1 sin θ 2 )
= r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 - sin θ 1 sin θ 2 ) + (i cos θ 1 sin θ 2 + i sin θ 1 cos θ 2 )]
= r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 - sin θ 1 sin θ 2 ) + i (cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 )]
= r 1 r 2 [cos( θ 1 + θ 2 ) + i sin( θ 1 + θ 2 )]
للعدد المركبي اإ z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )
r 2 ≠ 0 z 2 ≠ 0 حي _ z 1
z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos( θ 1 + θ 2 ) + i sin( θ 1 + θ 2 )]
z = _ r 1
2 r [cos( θ 2
1 - θ 2 ) + i sin( θ 1 - θ 2 )]
‏سية السر
‏سية القسمة
45 المر القمة ية بر و
الحظ أنه عند ضرب عددين مركبين،‏ فإنك تضرب المقياسين وتجمع السعتين،‏ وعند القسمة فإنك تقسم المقياسين
وتطرح السعتين.‏
_5π 2 (cos + i sin على الصورة القطبية،‏ ثم عب ّر عنه
5π_
3
3 ) · 4 ( π_ cos
6
2 (cos 5π_ + i sin
5π_
3
+ i sin
π_
6 )
3 ) · 4 ( cos π_
6
أوجد ناتج
بالصورة الديكارتية.‏
العبا المعطا
2(4)
الر ية
ب
+ i sin
π_
6 )
= ⎢
⎡ ⎣ cos ( 5π_
3 + π_
6 ) + i sin ( 5π_
3 + π_
6 ) ⎥
⎤ ⎦
8 (cos _ 11π 11π
=
+ i sin _
6 6 )
والآن أوجد الصورة الديكارتية للناتج.‏
الو القطبية
اأوجد يم الي وجي الما
الو اية
.4 √ Ç 3 - 4i ، والصورة الديكارتية 8 (cos _ 11π + i sin _ 11π
6
8 (cos _ 11π + i sin _ 11π
6 6 )
= 8 (_
√ Ç 3
2 - i 1_
= 4 √ Ç 3 - 4i
2)
فتكون الصورة القطبية للناتج ) 6
تحقق من فهمك
سر الداد المربة ل السورة القبية وسمتها
7π_ 15 (cos + i sin
7π_
تقريب ًا -3.88 + 14.49i , تقريب ًا ) 12 12
سر 4 الداد المربة ل السورة القبية
أوجد الناتج على الصورة القطبية،‏ ثم عب ّر عنه بالصورة الديكارتية لكل ٍّ مما يأتي:‏
3 ( cos π_ + i sin
π_
3 3 ) · 5 ( cos
π_
4 _
6 (cos 3π_ + i sin
3π_
4 4
) · 2 (cos 2π_
15 3
(cos 17π _ 17π
+ i sin
تقريب ًا -3.11 - 11.59i , تقريب ًا ) 12 12
+ i sin
π_
4 ) (4A
+ i sin
2π_
3 ) (4B
كما تقدم في فقرة ‏"لماذا؟"،‏ فإنه يمكن استعمال قسمة األعداد المركبة للتعبير عن العلاقات في الكهرباء.‏
سر الداد المربة وسمتها
واإاد واا وجورا
الما 4 يُبيّن كيفية إيجاد حاصل ضرب
األعداد المركبة بالصورة القطبية.‏
الما 5 يُبيّن كيفية إيجاد حاصل قسمة
عددين مركبين بالصورة القطبية.‏
الما 6 يُبيّن كيفية استعمال نظرية ديموافر؛
إليجاد قو األعداد المركبة.‏
الما 7 يُبيّن كيفية إيجاد جذور األعداد
المركبة.‏
الما 8 يُبيّن كيفية إيجاد الجذور النونية
للعدد 1.
ناتج 4 أوجد
ما اإساف
2 (cos π_ + i sin
π_
3 3 ) · 5 (cos 2π_
3 + i sin _ 2π
على الصورة القطبية،‏ ثم عبّر عنه
بالصورة الديكارتية.‏
10)cos π + i sin π(, -10
3
)
الدرص - 3 4 الأعداد المركبة ورة دموار 145
تو التعلي
المتعلمو المقيو‏:‏ اطلب إلى مجموعاتٍ‏ من الطلاب كتابة أدلة مفص َّ لة لحل مسائل معينة،‏ تشبه
المثال 4. واطلب إليهم تضمينها كل التفاصيل على اعتبار أن الشخص الذي سيقرأ الدليل لديه معرفة قليلة
بالموضوع،‏ ثم اطلب إلى مجموعات أخر التحقق من منطقية تتابع خطوات الحل في األدلة ومنطقيتها.‏
الدرص - 3 4 الأعداد المركبة ورة دموار 145