المعلم رياضيات الصف 12

افترض أن (y P(x, نقطة على القطع المكافئ كما في الشكل المجاور،‏ والذي
رأسه k) V(h, وبؤرته k) ، F(h+c, حيث ⎜c⎟ FV = هو البعد بين الرأس
والبؤرة.‏ وبناءً‏ على تعريف القطع المكافئ فإن البعد بين أي نقطة على القطع
والبؤرة يجب أن يساوي بعد هذه النقطة عن الدليل.‏ لذا إذا كان ⎟c⎜ FV =
فإن ⎜c⎟ . VT =
نعلم من تعريف القطع المكافئ أنّ‏ . PF = PM وبما أنّ‏ M واقعة على
الدليل،‏ فإن إحداثيي M هما (y h) - c , ، ويمكنك استعمال صيغة المسافة
بين نقطتين إليجاد معادلة القطع المكافئ.‏
O
y
PF = PM
√ ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
[x - (h + c) ] 2 + (y - k ) 2 = √ ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ
[x - (h - c) ] 2 + (y - y ) 2
[x - (h + c) ] 2 + (y - k ) 2 = [x - (h - c) ] 2 + 0 2
x 2 - 2x(h + c) + (h + c ) 2 + (y - k ) 2 = x 2 - 2x(h - c) + (h - c ) 2
x 2 - 2xh - 2xc + h 2 + 2hc + c 2 + (y - k ) 2 = x 2 - 2xh + 2xc + h 2 - 2hc + c 2
(y - k ) 2 = 4xc - 4hc
(y - k ) 2 = 4c(x - h)
قطي بي المساة وا
الطري ب
االوا‏
االوا‏
بس
ل
x = h - c
M (h - c, y) P(x, y)
c
T
c
V(h, k)
أي أنّ‏ معادلة القطع المكافئ المفتوح أفقيًّا ‏(إلى اليمين أو إلى اليسار)‏ هي (h y) - k ) 2 = 4c(x - . وبالمثل فإن
معادلة القطع المكافئ المفتوح رأسيًّا ‏(إلى أعلى أو إلى أسفل)‏ هي:‏ (k x) - h ) 2 = 4c(y - .
وهاتان هما المعادلتان القياسيتان للقطوع المكافئة،‏ حيث ≠ 0 c . وتحدّ‏ د قيم الثوابت ,h ,k c خصائص القطوع
المكافئة مثل إحداثيات رأس القطع واتجاهه.‏
المعادلة ف الصورة القياصية:‏ h) (y - k ) 2 = 4c(x -
O
F(h + c, k)
y
F
y = k
x
V
x
c < 0 c > 0
المح مو اقيا
التا‏:‏ k) (h,
الرا‏ص:‏ k) (h + c,
البورة:‏ y = k
معادلة محور التمال:‏ x = h - c
معادلة الدليل:‏ |4 c| الوتر البور‏:‏ و
V
F
O
y
x
O
المعادلة ف الصورة القياصية:‏ k) (x - h ) 2 = 4c(y -
y
V
F
c < 0
x
y
O
V
F
c > 0
المح مو ا‏سيا
التا‏:‏ k) (h,
الرا‏ص:‏ c) (h, k +
البورة:‏ x = h
معادلة محور التمال:‏ y = k - c
معادلة الدليل:‏ |4 c| الوتر البور‏:‏ و
x
اتا فتحة منحن الق
‏س ا ال
ا محيات القط الما
موة ا‏سيا اإل ال
او اإل ا‏س او اقيا اإل
اليمي او اليسا
خصا‏ص الق الماف
المحتو الراص
الق الماف خاصية االنعكاس
للقطع المكافئ مهمة؛ بسبب تطبيقاتها
العملية.‏ افترض أن P نقطة على منحنى
القطع المكافئ.‏ إذا رس َ مت قطعة مستقيمة
تصل بين P والبؤرة ورس َ مت نصف
مستقيم يمر من P موازيًا لمحور التماثل،‏
فإن كالًّ‏ من القطعة المستقيمة ونصف
المستقيم يكو ِّ نان مع المماس عند P
زاويتين متطابقتين دائمً‏ ا،‏ وهذا يعني أن أي
نصف مستقيم منطلق من البؤرة سينعكس
على منحنى القطع إلى الخارج موازيًا
لمحور التماثل.‏ كما أن أي نصف مستقيم
داخل إلى منحنى القطع المكافئ وموا ٍ ز
لمحور التماثل سينعكس في البؤرة.‏
ويمكن مشاهدة هذه الخاصية في أطباق
استقبال األقمار االصطناعية.‏
للمعل الدد
البعد ن الدليل ذكّ‏ ر الطالب بأن بعد
نقطة عن مستقيم كالدليل مثالً‏ يُقاس بطول
العمود النازل من النقطة على الدليل.‏
يمكنك استعمال الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ لتحديد خصائصه مثل الرأس والبؤرة والدليل .
الدرص - 1 2 القطوع الماة 47
تنو التعلي
المتعلمو المنقيو اطلب إلى الطالب أن يرسموا منحنى قطع مكافئ رأسه في نقطة األصل،‏ ويمر بالنقاط
5) (-4, 5), (4, 1), (–2, 1), .(2, ثم اطلب إليهم تعيين البؤرة عند النقطة 1) (0, والدليل -1 = .y واطلب
إليهم أيضً‏ ا اختيار عدّ‏ ة نقاط على المنحنى،‏ وقياس البعد بين كل نقطة والبؤرة باستعمال مسطرة وقياس البعد
أيضً‏ ا بين كل نقطة والدليل،‏ وناقش معهم مالحظاتهم.‏ فمثالً‏ ناقشهم كيف يؤثر تغيير مواقع البؤرة في الدليل،‏
وكيف أن البؤرة والدليل يؤثران في شكل منحنى القطع المكافئ.‏
الدرص - 1 2 القطوع الماة 47