المعلم رياضيات الصف 12

أوجد مشتقة َ كل ِّ دالة مما يأتي باستعمال النهايات،‏ ثم احسب قيمة المشتقة
5–1) انظر ملحق الإجابات.‏
عند النقاط المعطاة:‏ ام 1
f(x) = 4 x 2 - 3 , x = 2 , -1 ( 1
g(t) = -​t 2 + 2t + 11 , t = 5 , 3 ( 2
m( j) = 14j - 13 , j = -7 , -4 ( 3
v(n) = 5 n 2 + 9n - 17 , n = 7 , 2 ( 4
r(b) = 2 b 3 - 10b , b = -4 , -3 ( 5
أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي : الاال 2 , 3
z(n) = 2 n 2 + 7n ( 7
y ( f ) = -11 f ( 6
b(m) = 3 m 2_
3 - 2 m 3_
2 ( 9 g(h) = 2 h 1_ 1_ 3_
2 + 6 h 3 - 2 h 2 ( 8
f (x) = 3 x 1_
2 - x 3_
2 + 2 x -​1_ 2 ( 11 n(t) = 1_
t + 3_
t + 2_
2 t + 4 ( 10
3
p(k) = k 5.2 - 8 k 4.8 + 3k ( 13 q(c) = c 9 - 3 c 5 + 5 c 2 - 3 c ( 12
( 14 رجات حرارة تُعطى درجة حرارة إحدى المدن بالفهرنهايت في
أحد األيام بالدالة :
-a) c انظر ملحق الإجابات.‏
، f (h) = -​0.0036 h 3 - 0.01 h 2 + 2.04 h + 52
حيث h عدد الساعات التي انقضت من ذلك اليوم.‏ ام 4
a) أوجد معادلة تمثل مُعدّ‏ ل التغيّر اللّحظي لدرجة الحرارة.‏
b) أوجد مُعدَّ‏ ل التغيّر اللحظي لدرجة الحرارة عندما:‏
. h = 2, 14, 20
0 ≤ h ≤ 24 أوجد درجة الحرارة العظمى في الفترة:‏ c)
استعمل الاشتقاق لإيجاد النقاط الحرجة،‏ ثم أوجد نقاط القيم العظمى
والصغر لكل دالة مما يأتي على الفترة المعطاة.‏ ام 5
f(x) = 2 x 2 + 8x, [-5, 0] ( 15
r(t) = t 4 + 6 t 2 - 2, [ 1, 4] ( 16
t(u) = u 3 + 15 u 2 + 75u + 115, [-6, -3] ( 17
f(x) = -5 x 2 - 90x, [-11, -8] ( 18
z(k) = k 3 - 3 k 2 + 3k, [0, 3] ( 19
c(n) = 1_
3 n 3 + 1_
2 n 2 - 6n + 8, [-5, 5] ( 20
( 21 رياصة عُد إلى فقرة ‏”لماذا؟“‏ في بداية الدرس.‏ الدالة:‏
h(t) = 65t - 16 t 2 + 3 تمثل ارتفاع الكرة h باألقدام بعد t ثانية،‏
عندما ≤ 4 t ام . 0 ≤ 5
. h ′(t) أوجد (a
b) أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى للدالة h(t) في الفترة [4 ,0].
c) هل يمكن ألحمد ركل الكرة لتصل إلى ارتفاع 68 ft ؟
194 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق
أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:‏ ام 6
f (x) = (4x + 3)( x 2 + 9) ( 22
g(x) = (3 x 4 + 2x)(5 - 3x) ( 23
s(t) = ( √​Ç​ t + 2)(3 t 11 - 4t) ( 24
g(x) = ( x 3_
2 + 2x) (0.5 x 4 - 3x) ( 25
c(t) = ( t 3 + 2t - t 7 )( t 6 + 3 t 4 - 22t) ( 26
q(a) = ( a 9_
8 + a -​1_ 4 )( a 5_
4 - 13a) ( 27
f (x) = (1.4 x 5 + 2.7x)(7.3 x 9 - 0.8 x 5 ) ( 28
استعمل قاعدة مشتقة القسمة لإيجاد مشتقة كل دالة ٍ مم ّ ا يأتي:‏ ام 7
r(t) = _ t 2 + 2
3 - t 2
f (x) = _ √​ Ç​ x + 2x
-​x 2 + 3
_
t(w) = w + w 4
√​Ç​ w
( 30 f (m) = _ 3 - 2m
3 + 2m ( 29
( 32 m(q) = __
q 4 + 2 q 2 + 3
q 3 - 2
( 34 q(r) = __
1.5 r 3 + 5 - r 2
r 3
( 31
( 33
35 قام بائع مالبس بإيجاد العالقة بين سعر قميص،‏ وعدد القطع المبيعة
منه يومي ّ ًا،‏ فوجد أنه عندما يكون سعر القميص d درهمًا ، فإن عدد
القطع المبيعة يومي ّ ًا يساوي . 80 - 2d
a) أوجد (d) r التي تمثل إجمالي المبيعات اليومية،‏ عندما يكون
سعر القميص d درهمًا.‏
. r ′​(d) أوجد (b
c) أوجد السعر d الذي تكون عنده قيمة المبيعات اليومية أكبر
ما يمكن.‏ 20 درهم ً ا
أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي،‏ ثم م َ ث ِّل الدالة والمشتقة بياني ّ ًا على المستو
الإحداثي نفسه.‏ 36-39) للتمثيل البياني انظر ملحق الإجابات.‏
‏(إرشاد:‏ يمكنك استعمال الحاسبة البيانية في التمثيل البياني)‏
f ′(x) = 6x + 2 f (x) = 3 x 2 + 2x - 7 ( 36
g ′(x) =
_ √ Ç x g(x) = √​Ç​ x + 4 ( 37
2x
f ′(x) = 20 x 4 - 18 x 2 + 10 f (x) = 4 x 5 - 6 x 3 + 10x -​11 ( 38
g(x) = 1_
x ( 39
( 40 المصتقات العليا لتكن ′(x) f مشتقة (x) ، f إذا كانت مشتقة ′(x) f
موجودة،‏ فإنها تسمى المشتقة الثانية للدالة ، f ويُرمز لها بالرمز
′′(x) ، f أو الرمز (x) ، f (2) وكذلك إذا كانت مشتقة ′′(x) f موجودة،‏
فإنها تسمى المشتقة الثالثة للدالة ، f ويرمز لها بالرمز (x)′′′ f
أو (x) ، f (3) وتسمى المشتقات على هذا النحو المشتقات العليا
للدالة . f أوجد كال ّ ً مما يأتي:‏ (a-c انظر الهامش.‏
f (x) = 4 x 5 - 2 x 3 + 6 المشتقة الثانية للدالة:‏ (a
g(x) = -2 x 7 + 4 x 4 - 7 x 3 + المشتقة الثالثة للدالة:‏‎10x (b
h(x) = 3 x -3 + 2 x -2 + 4 x 2 المشتقة الرابعة للدالة:‏ (c
(
6-13) انظر الهامش.‏
15-20) انظر ملحق الإجابات.‏
c) انظر ملحق الإجابات.‏
22) 28- انظر ملحق الإجابات.‏
29) - 34 انظر ملحق الإجابات.‏
r(d) = d(80 - 2d)
r ′(d) = -4d + 80
g ′(x) = - 1_
x 2
h’(t) = 65 - 32t
(b 69.02) (2.03, 3), (0, تقريب ًا
3 التدري
التقوي التويني
استعمل األسئلة 1-34 ؛ للتأكد من فهم
الطالب.‏ ثم استعمل الجدول أسفل هذه
الصفحة؛ لتعيين الواجبات المنزلية للطالب
بحسب مستوياتهم.‏
تني
خا صا في األسئلة – 28 22،
ذكّر الطالب بأن مشتقة حاصل
ضرب دالتين ال تساوي حاصل
ضرب مشتقتيهما،‏ إال أنها تساوي
حاصل جمع كل دالة في مشتقة الدالة
األخرى.‏
اإجابات
y′( f ) = -11 (6
z′(n) = 4n + 7 (7
g′(h) = 1_
1_
+ 2_ 1_
2_
- 3 h 2 (8
h 2 h 3
b′(m) = 2 m - 1_ 1_
3 - 3 m 2 (9
f ′(x) =
n′(t) = - 1_
t 2 - 6_
t 3 - 6_
t 4 (10
3_
1_
2 x 2
- 3_ 1_
2 x 2 -
1_
x 3_
2
(11
q′(c) = 9 c 8 - 15 c 4 + 10 c - 3 (12
p′(k) = 5.2 k 4.2 - 38.4 k 3.8 + 3 (13
f ′′(x) = 80 x 3 − 12 x (40a
تنوي الواجات المنلية
المصتو
الواج المنلي
g ′′′(x) = -420 x 4 + 96 x − 42 (40b
h (4) (x) = 1080 x −7 + 240 x −6 (40c
48–54 ،46 ، 1–34
1–34 فردي،‏ 48–54 ،46 ، 45
35–54
دون المتوسط
ضمن المتوسط
فوق المتوسط
194 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق