المعلم رياضيات الصف 12

التما ج ا
|u| 2 = u · u
الال لل الت ا
u · u = |u| 2
ب |a| 2 + |b| 2 م ال
بم ال ل -2|a| |b|
〈-4, 3〉
v
O
y
u
v
y
b - a
O
63°
y
θ
O
125°
〈3, 1〉
a
u
〈3, -3〉
x
〈6, 2〉
x
x
اإا ا θ الا ب متجه اإ a , b
_
cos θ = a · b
|a| |b|
اإا ا a , b, b - a ا مل ما ال ا اإ
|a| 2 + |b| 2 - 2 |a| |b| cos θ = |b - a| 2
|a| 2 + |b| 2 - 2 |a| |b| cos θ = ( b - a) · ( b - a)
|a| 2 + |b| 2 - 2 |a| |b| cos θ = b · b - b · a - a · b + a · a
|a| 2 + |b| 2 - 2 |a| |b| cos θ = |b| 2 - 2 a · b + |a| 2
- 2 |a| |b| cos θ = -2 a · b
cos θ = _ a · b
|a| |b|
أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u , v في كل ٍّ مما يأتي:‏
الا ب متجه
u = 〈6, 2〉 , v = 〈-4, 3〉
الا بن مهن
ال الال لمتجه المتج
ب
م ج التما
u = 〈6, 2〉 , v = 〈-4, 3〉 (a
cos θ = _ u · v
|u| |v|
〈6, 2〉 ·​〈-4, 3〉
cos θ =​​ __
|〈6, 2〉|​|〈-4, 3〉|
cos θ = _ -24 + 6
√​Ç​ 40 √​Ç​ 25
-18
cos θ = _
10 √​Ç​ 10
θ = cos -1 _-18
10 √​Ç​
≈​125°
10
أي أن قياس الزاوية بين u , v هو 125° تقريبًا،‏ كما في الشكل أعاله.‏
الا ب متجه
u = 〈3, 1〉 , v = 〈3, -3〉
ال الال لمتجه المتج
ب
م ج التما
u = 〈3, 1〉 , v = 〈3, -3〉 (b
cos θ = _ u · v
|u| |v|
〈3, 1〉 ·​〈3, -3〉
cos θ =​​ __
|〈3, 1〉|​|〈3, -3〉|
_
cos θ = 9 + (-3)
√​Ç​ 10 √​Ç​ 18
cos θ =
1_
√​Ç​ 5
θ =​​cos -1 1_
√​Ç​
≈​63°
5
أي أن قياس الزاوية بين u , v هو 63° تقريبًا،‏ كما في الشكل المجاور.‏
3
ما اإاف
أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين
v ، u في كل ٍّ مما يأتي:‏
المهات المامدة
الموا المهات
ا لمتجه اإهما
متاما اإا ا الا
بهما 90° ا لمتجه
اهما متاا اإا ا
الا بهما 0° ا 180°
اإا اص الا بن مهن
u = 〈-3, -5〉​, (a
-3〉 〈2, = v 64.7° تقريبًا
u = 〈1, -4〉 , v = 〈2, 6〉 (b
147.5° تقريبًا
المحو الا
الم ال
• ناتج الضرب الداخلي للمتجه الصفري
〈0 ,0〉، وأي ِّ متجهٍ‏ آخر يساوي 0.
• ناتج جمع أي ٍّ متجهٍ‏ مع المتجه
الصفري يُعطي المتجه نفسه.‏
• المتجه الصفري هو العنصر المحايد
لعملية جمع المتجهات.‏
للمل الدد
‏‏ورة ا لل الدال تقود قاعدة
الزاوية بين متجهين إلى صورةٍ‏ بديلة ٍ للضرب
الداخلي لمتجهين .
a · b​=​​⎜a⎟ ​​⎜b⎟ ​cos θ
ويمكن استعمال هذه الصورة؛
لحساب الضرب الداخلي للمتجهين
a و ، b عند معرفة طول كل ٍّ من المتجهين
والزاوية بينهما.‏
3
102 الوحدة 3 المتجهات
102 الوحدة 3 المتجهات