المعلم رياضيات الصف 12

المهات
ف المو الإحدا 3-2 المهات
• الصورة اإلحداثية لمتجه أو المتجه الجبري 〈y ,x〉، هي طريقة
أخر للتعبير عن المتجه الهندسي ، ÆÆÆ​ OP عندما يكون في وضع
قياسي.‏
• الزاوية θ المحصورة بين المحور x الموجب والمتجه تسمى
الزاوية المتجهة،‏ وهي التي تحدد اتجاه المتجه.‏
O
y
OP
x
P(x, y)
• إليجاد الصورة اإلحداثية للمتجه ​AB عندما ال يكون في الوضع
القياسي،‏ استعمل إحداثي َّي نقطتَي نهايته وبدايته:‏
ف الا ال البا 3-4 المهات
نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد يتكون مم ّ ا يأتي:‏
• المحاور . x , y , z
• ثماني مناطق تُسمى أثمانًا.‏
تُمث َّل النقطة في الفضاء بثالثي مرتب من األعداد الحقيقية )z ,x(. ,y
إذا كانت:‏ ( 2 A) x 1 , y 1 , z 1 ( , B) x 2 , y 2 , z نقطتين في الفضاء،‏ فإن:‏
• المسافة بين النقطتين A , B تُعطى بالقانون:‏
AB​=​​ √​ ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( x 2 - x 1 ) ​
2 + ( y 2 - ​y 1 ) 2 + ( ​z 2 - z 1 ) 2 ​
• إحداثيات نقطة منتصف ​̶̶ AB هي النقطة
__
__
_
. M​​(​ ​x 1 + x 2
y 1 + y 2 z 1 + z 2
, , ​)​
2 2 2
الصورة اإلحداثية للمتجه في الوضع القياسي هي 〉 1 〈​x 1 , y 1 , z ،
حيث ) 1 ( x 1 , y 1 , z نقطة نهايته.‏
الصورة اإلحداثية للمتجه AB في الوضع غير القياسي الذي نقطة
نهايته )​ 2 B(​x 2 , y 2 , z ونقطة بدايته )​ 1 A(​x 1 , y 1 , z هي
. ​​ ​ ​ÆÆÆ​ AB = 〈​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 〉
y
.ÆÆÆ​ AB = 〈​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 〉
x
​
• طول ​​ ​ ​ÆÆÆ​ AB هو​‏ ) 2 1 ​​⎜ ​ÆÆÆ​ AB ⎟ ​=​​√​ ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ​(​x 2 - x 1 ) 2 + ​ ( y 2 - y .
B(x 2
, y 2
)
y 2
- y 1
A(x 1
, y 1
) x 2
- x 1
• إن عمليات الجمع،‏ والطرح،‏ والضرب في عدد ثابت على
المتجهات،‏ تشبه العمليات المقابلة لها على المصفوفات،‏ ويكون
ناتج كل ٍّ منها متجهً‏ ا.‏
• ناتج الجمع ai + bj هو توافق خط ّي باستعمال متجهَ‏ ي الوحدة . ,i j
الدال 3-3 ال
• يُعر َّ ف الضرب الداخلي للمتجهَ‏ ين 〉 2 a​=​〈​a 1 , a 2 〉, b = 〈​b 1 , b
على الصورة . a · b = a 1 b 1 + a 2 b 2
• ناتج الضرب الداخلي لمتجهَ‏ ين هو عدد وليس متجهً‏ ا.‏
الدال ال التا للمهات ف الا 3-5 ال
• يُعر َّ ف الضرب الداخلي للمتجهَ‏ ين
〉 3 a = 〈​a 1 , a 2 , a 3 〉 , b = 〈​b 1 , b 2 , b في الفضاء على الصورة
. a · b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
• إذا كان الضرب الداخلي لمتجهَ‏ ين يساوي 0، فإن المتجهَ‏ ين
متعامدان.‏
• الضرب االتجاهي للمتجهَ‏ ين a , b في الفضاء هو:‏
،a × b =​(​a 2 b 3 - a 3 b 2 ) i - ( a 1 b 3 - a 3 b 1 ) j + ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) k
حيث . a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , b = b 1 i + b 2 j + b 3 k
• مقدار الضر ب االتجاهي لمتجهَ‏ ين في الفضاء يمثل مساحة
متوازي األضالع الذي يمثل المتجهان ضلعين متجاورين فيه.‏
• إذا التقت نقاط بداية ثالثة متجهات في نقطة واحدة،‏ وكانت
ٍ، فإنها تشكل ثالثة أحرف
المتجهات تقع في مستوياتٍ‏ مختلفة
متجاورة لمتوازي سطوح،‏ والقيمة المطلقة للضرب القياسي
الثالثي للمتجهات الثالثة تمثل حجم متوازي السطوح.‏
• إذا كان ناتج الضرب الداخلي لمتجهَ‏ ين هو 0، فإن المتجهَ‏ ين
متعامدان.‏
• يمكن استعمال تحليل المتجهات إليجاد قوةٍ،‏ وحساب الشغل
الناتج عن قوة.‏
الوحدة 3 المتجهات 82F