المعلم رياضيات الصف 12

وإليجاد جميع جذور عدد مركب يمكن استعمال الصيغة الآتية التي استنتجها العلماء من نظرية ديموافر:‏
لأ عدد حي اإ n ≥ 2 للعدد المرك n r (cos θ + i sin θ) م الو الوية الملة وم
r 1_ n (cos_
θ + 2kπ
n + i sin _ θ + 2kπ
n )
اإادا باعما الية
حي k = 0, 1, 2, …, n - 1
ويمكننا استعمال هذه الصيغة لجميع قيم k الممكنة،‏ إال أنه يمكننا التوقف عندما - 1 n ، k = وعندما يساوي
k العدد n، أو يزيد عليه تبدأ الجذور بالتكرار،‏ كما يظهر في المعادلة:‏
r = √ 5π_
(-4) 2 + (-4) 2 = √
-1 -4
32 , θ = Ta n
-4 + π = 4
k = 0 عدما ال للاوة مطابقة و _ θ + n 2πn = θ_
n + 2π
_
5π_
1_
1_
θ =
4 , n = 4 , r n = ( √ 32 ) 4
k = 0
ب
=
أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب -. 4 - 4i
أوالً‏ : اكتب 4- - 4i على الصورة القطبية.‏
-4 - 4i = √ Ç 32 (cos 5π_ + i sin
5π_
4 4
)
والآن اكتب الصيغة للجذور الرباعية.‏
ال الأو
ال الا
ال الال
k = 1
k = 2
k = 3
( √ Ç 32 ) 1_ 5π_
4 4
(cos_
+ 2kπ 5π_
+ i sin _ 4 + 2kπ
)
4
4
= √ 8 Ç 32 ⎡ ⎢
⎣ cos ( 5π_
16 + _ 2kπ
4 ) + i sin ( 5π_
16 + _ 2kπ
4 ) ⎥
⎤ ⎦
ثانيًا:‏ إليجاد الجذور الرباعية،‏ عوّ‏ ض = 0, 1, 2, 3 k .
8
√ Ç 32 ⎡ ⎢
⎣ cos ( 5π_
16 + _ 2(0)π
8
√ Ç
الور المتلة
ال الراب
32 (cos 5π_
16
4
) + i sin ( 5π_
16 + _ 2(0)π
4
) ⎥
⎤ ⎦
+ i sin
5π_
16 ) ≈ 0.86 + 1.28i
7
8
√ Ç 32 ⎡ ⎢
⎣ cos ( 5π_
16 + _ 2(1)π
4
) + i sin ( 5π_
16 + _ 2(1)π
4
) ⎥
⎤ ⎦
8
√ Ç 32 (cos _ 13π 13π
=
+ i sin _
16 16 ) ≈ -1.28 + 0.86i
8
√ Ç 32 ⎡ ⎢
⎣ cos ( 5π_
16 + _ 2(2)π
4
) + i sin ( 5π_
16 + _ 2(2)π
4
) ⎥
⎤ ⎦
8
√ Ç 32 (cos _ 21π 21π
=
+ i sin _
16 16 ) ≈ -0.86 - 1.28i
8
√ Ç 32 ⎢
⎡ ⎣ cos ( 5π_
16 + _ 2(3)π
4
) + i sin ( 5π_
16 + _ 2(3)π
4
) ⎥
⎤ ⎦
8
√ Ç 32 (cos _ 29π 29π
=
+ i sin _
16 16 ) ≈ 1.28 - 0.86i
ما اإساف
أوجد الجذور الخماسي َّة للعدد
المركب -2 -2i
جور العدد المر
0.87 + 0.87i , -0.56 + 1.10i ,
-1.22 - 0.19i , -0.19 - 1.22i ,
1.10 - 0.56i
للمعل الدد
معادلة الور المتلة برهان معادلة
الجذور المختلفة أعلى من مستو هذا
الكتاب.‏
7
الجذور الرباعية للعدد -4 - 4i هي 0.86 + 1.28 i , -1.28 + 0.86 i , -0.86 - 1.28 i , 1.28 - 0.86 i
تحقق من فهمك
148 الوحدة 4 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة
7A) أوجد الجذور التكعيبية للعدد 7B) 2 + 2i أوجد الجذور التكعيبية للعدد 8
2 , -1 + √ 3 i , -1 - √ 3 i ≈1.37 + 0.37i , -1 + i , ≈ -0.37 - 1.37 i
148 الوحدة 4 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة