المعلم رياضيات الصف 12

(θ + 180)°
O
r
θ
(θ - 180)°
P(r, θ) or
P(-r, θ ± 180°)
مال اإسافيا
وكذلك ألن r مسافة متجهة،‏ فإن ) θ ,r)
و 180°) ± θ (-r, ، أو π) (-r, θ ±
تمثِّل النقطة نفسها،‏ كما في الشكل المجاور.‏
128 الوحدة 4 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة
وبصورة عامة،‏ إذا كان n عددًا صحيحً‏ ا،‏ فإنه يمكن تمثيل النقطة (θ ,r) باإلحداثيات (360°n ,r) θ + أو
(180°(1 + 2n)+ ,r-). θ وبالمثل،‏ إذا كانت θ مقيسة بالراديان،‏ وكان n عددًا صحيحً‏ ا،‏ فإنه يمكن تمثيل النقطة
. (-r, θ + (2n + 1)π) أو (r, θ + 2nπ) باإلحداثيات (r, θ)
إذا كانت 360° ≤ θ ≤ 360°- ، فأوجد أربعة أزواج مختلفة كل منها يمث ّل إحداثيين قطبيين للنقطة T في الشكل
المجاور.‏
180°
135°
225°
T
90°
270°
45°
0°
O 1 2 3 4 5
315°
(5, -120°), _
(-5, 60°), (-5, -300°) (3A
(-2, - 11π
6 ) 7π_ , (+2,
6 ) 5π_ , (+2,-
6 ) (3B
أحد األزواج القطبية التي تمثِّل النقطة T هو (135° ,4).
وفيما يأتي األزواج الثلاثة األخر‏:‏
360°) - 135° (4, = 135°) (4, ار 360° م θ
= (4, -225°)
θ اإل 180° واأ r م بدل - r (4, 135°) = (-4, 135° + 180°)
= (-4, 315°)
θ م 180° وار r م بدل -r (4, 135°) = (-4, 135° - 180°)
= (-4, -45°)
تحقق من فهمك
أوجد ثالثة أزواج مختلفة كل منها يمث ّل إحداثيين قطبيين للنقطة المعطاة،‏ علم ً ا بأن:‏
. -2π ≤ θ ≤ 2π ، أو -360° ≤ θ ≤ 360°
(-2, π_
6 )
3 تميت بية متعددة
(3B (5, 240°) (3A
التميل البيا للمعادلت القبية تُسمى المعادلة المعطاة بداللة اإلحداثيات القطبية معا دلة ً قطبية ً . فمثلاً‏ :
r = 2 sin θ هي معادلة قطبية.‏ التم ثيل القطبي هو مجموعة كل النقاط (θ ,r) التي تحقق إحداثياتها المعادلة القطبية.‏
لقد تعلمت سابقًا كيفية تمثيل المعادالت في نظام اإلحداثيات الديكارتية ‏)في المستو اإلحداثي(.‏ ويُعد ُّ تمثيل
المعادالت مثل ، x = a و y = b ‏)حيث ,a b عددان حقيقيان(‏ أساسي ّ ًا في نظام اإلحداثيات الديكارتية.‏ وبالمثل فإن
التمثيل البياني لمعادالت قطبية مثل ، r = k و ، θ = h حيث ,k h عددان حقيقيان،‏ يُعَد ُّ أساسي ّ ًا في نظام اإلحداثيات
القطبية.‏
5π
6
π
7π
6
2π
3
(2, π)
4π
3
r = 2
π
2
4π
(2, _ )
3
3π
2
π
3
π
(2,
4
)
5π
3
π
6
O 1 2 3 4 5
5π
6
θ =
5π_
6
π
7π
6
0
11π
6
2π
3
4π
3
π
2
3π
2
4
م َ ث ِّل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بياني ّ ًا:‏
r = 2 (a
تتكون حلول المعادلة = 2 r من جميع النقاط على الصورة ) θ , 2 ( ،
(2, π_ ) , (2, π) , (2,
4π_
4 3
حيث θ أي عدد حقيقي فمثلاً‏ تعد النقاط )
حلوالً‏ لها.‏
يتكون التمثيل البياني من جميع النقاط التي تبعُد 2 وحدة عن القطب.‏
وعليه فإن المنحنى هو دائرة مركزها نقطة األصل ‏)القطب(‏ ، وطول
نصف قطرها 2 كما في الشكل المجاور.‏
مثل كلا ّ ً من النقطتين الآتيتين في
المستو القطبي:‏
A (3 , 5π_
6 ) (a
تميل المعادلت القبية
لمي المعادلة القطبية
= 2 r عل الحابة البياية
ا TI - nspire
عل اأول ثم و
وير و الرم اإل
اأ لح
المير الاب ير م f(x)
اإل r والمير المق م
r = 2 م θ اإل x
التميل البيا للمعادلت القبية
π
3
π
6
O 1 2 3 4
5π
3
0
11π
6
150°
180°
210°
5π
6
π
7π
6
120°
240°
(3, 5π_ 6
)
A
4π
3
π
2
3π
2
π
3
5π
3
π
6
O 1 2 3 4
0
11π
6
Q)-2, -240°( (b
90°
270°
60°
300°
30°
0°
1 2 3 4
Q (-2, -240°)
330°
أوجد أربعة أزواج مختلفة،‏ كل ٌّ منها
يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة ، S إذا
كانت 360° < θ < -360°
150°
180°
210°
120°
S
240°
90°
270°
60°
O 1 2 3 4
300°
30°
0°
330°
)2, -150°(, )2, 210°(, )-2 , 30°(,
)-2, -330°(
ملحوظة:‏ توجد صفحة في نهاية ملحق
اإلجابات ‏)نماذج للمستو القطبي(،‏
يمكنك تصويرها وتوزيعها على الطلاب،‏
عند تكليفهم بالتمثيل في المستو القطبي.‏
التميل البيا للمعادلت
القبية
الما 4 يُبيّن كيفية تمثيل معادالت قطبية
بسيطة مثل الدوائر والمستقيمات.‏
الما 5 يُبيّن كيفية إيجاد المسافة بين
نقطتين مُعطاتين باإلحداثيات القطبية،‏ وذلك
باستعمال الصيغة القطبية للمسافة.‏
مثّل كل معادلة من المعادالت القطبية الآتية بياني ّ ًا:‏
ما اإساف
4
θ = _ 5π r = 2.5 (a
6 (b π
2 π
r = 2.5 3
5π
π
6
( 2.5, π_ 64 )
(2.5, π)
π
0
O 1 2 3 4
7π
11π
(2.5, 4π_
6 3
)
6
4π
5π
3 3π 3
2
2
3
128 الوحدة 4 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة