المعلم رياضيات الصف 12

i
2
(−1.28, 0.86) (0.86, 1.28)
1
−2
−1
O
−1
1 2R
(−0.86, -1.28)
−2
(1.28, −0.86)
الحظ أن الجذور األربعة التي أوجدناها في المثال 7 تقع على دائرة.‏ فإذا نظرنا إلى
الصورة القطبية لكل جذر،‏ نجد أن لكل منها مقياسً‏ ا قيمته ) 1.54 ≈ 32
نصف قطر الدائرة.‏ كما أن المسافات بين الجذور على الدائرة متساوية،‏ وذلك نتيجة
للفرق الثابت بين قيم السعة؛ إذ يساوي
√ Ç 3 ،( ويمثل
تحدث إحد الحاالت الخاصة عند إيجاد الجذور النونية للعدد 1، فعند كتابة 1 على
الصورة القطبية،‏ فإن قيمة r التي نحصل عليها هي = 1 r . وكما ذكرنا في الفقرة
السابقة،‏ فإن مقياس الجذور هو طول نصف قطر الدائرة الناتجة عن تمثيل الجذور في المستو المركب؛ لذا فإن
الجذ ور النونية للعدد واحد تقع على دائرة الوحدة.‏
_
2
)
(- _ √2
2 , √2
−2 −1 O
−1
(-
2
2 , - 2
2
)
−2
. 2π_
4
r = √ 1 2 + 0 2 -1 = 1 , θ = Ta n
0_
1 = 0
1_
θ = 0 , n = 8 , r
n
= 1
8
= 1
1_
ب
أوجد الجذور الث ُّماني َّة للعدد واحد.‏
أوالً‏ : اكتب 1 على الصورة القطبية.‏
1 = 1 · (cos 0 + i sin 0)
والآن اكتب الصيغة للجذور الثماني َّة.‏
_
1 (cos 0 + 2kπ
8
+ i sin _ 0 + 2kπ
8
)
= cos kπ_
4
+ i sin
kπ_
4
ثانيًا:‏ افترض أن = 0 k إليجاد الجذر األول للعدد . 1
ال الأو
k = 0
_
_
cos (0)π + i sin (0)π
4
4
= cos 0 + i sin 0 = 1
الحظ أن مقياس كل جذر هو 1، ويمكن إيجاد سعة الجذر الحالية بإضافة _π إلى سعة الجذر السابق.‏
4
i
2
( _ √2
2 ,
1
_ √2
2
)
1 2R
( _ √2
2 ,_-√2
2
)
ال الا
ال الال
ال الراب
ال الام
ال الاد
ال الاب
ال الام
cos
π_
4
cos π_
2
cos
3π_
4
+ i sin
π_
4
+ i sin
π_
2
+ i sin
3π_
4
= _ √ Ç 2
2 + _ √ Ç 2
2 i
= i
cos π + i sin π = -1
cos
5π_
4
cos 3π_
2
cos
7π_
4
+ i sin
5π_
4
+ i sin
3π_
2
+ i sin
7π_
4
1 ,_
√ Ç 2
2 + _ √ 2 Ç
2 i , i , - _ √ Ç 2
2 + _ √ Ç 2
2 i , -1, - _ √ 2 Ç
2 - _ √ Ç 2
2 i , -i, _ √ Ç 2
2 - _ √ Ç 2
= -_
√ Ç 2
2 + _ √ 2 Ç
2 i
= -_
√ 2 Ç
2 - _ √ Ç 2
2 i
= -i
8
= _ √ Ç 2
2 - _ √ Ç 2
2 i
الجذور الث ُّماني َّ ة للعدد 1 هي 2 i
كما هو موضح في الشكل أعلاه.‏
تحقق من فهمك
الور الوية للعدد واحد
8A) أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد.‏ 8B) أوجد الجذور السداسية للعدد واحد.‏
الور الوية لعدد مر
المقيا للو و
1_
_
n
وو عة r ال الأو
θ
n
ثم داد للو الأر عل
الوال باإاة
ما اإساف
أوجد الجذور الخماسية للعدد واحد.‏
1,
0.3090 + 0.9511i,
-0.8090 + 0.5878i,
-0.8090 - 0.5878i,
0.3090 - 0.9511i
للمعل الدد
الور الوية للعدد واحد
التمثيل الهندسي للجذور النونية للعدد
واحد،‏ تقع دائمًا على دائرة الوحدة في
المستو المركب،‏ حيث تمثل هذه النقاط
رؤوس مضلع منتظم له n ضلعًا.‏ الحظ أن
أحد جذور الواحد هو 1 دائمًا.‏
8
2π_
n
1_ 1, -
_
2 + √ 3 i, (8A
2
- 1_
2 - √ 3
2 i
1_ 1,
_
2 + √ 3 i, (8B
2
- 1_
_
_
2 + √ 3 i, -1,
2
2 - √ 3
2 i,
1_ -
1_
_
_
2 - √ 3
2 i
الدرص - 3 4 الأعداد المركبة ورة دموار 149
الدرص - 3 4 الأعداد المركبة ورة دموار 149