المعلم رياضيات الصف 12

محات
5 الدرص
-3
المماص المماص الصرة الصرة المتجهة Tangent Line and Velocity
1 التري
عندما يقفز المظلي من ارتفاع 15000، ft فإن سرعته في اتجاه األرض تزداد
مع مرور الزمن؛ بسبب تسارع الجاذبية األرضية،‏ وتستمر سرعته في االزدياد
حتى يفتح مظلته عند ارتفاع ، 2500 ft أو عندما يصل إلى السرعة المتجهة
الحدية،‏ وهي السرعة المتجهة التي ينعدم عندها تسارع المظلي،‏ ويحدث هذا
عندما تصبح محصلة القوى عليه صفرً‏ ا.‏
المماصات تعلمت سابقًا أن مُعدّ‏ ل تغيّر منحنى دالة غير خطية يتغير من نقطة
إلى أخرى عليه،‏ ويمكن حساب متوسط مُعدّ‏ ل تغيّر الدالة غير الخطية على
فترة باستعمال ميل القاطع.‏ ففي التمثيالت البيانية أدناه للدالة
y = x 2 والقاطع الذي يقطعه مار ّ ً ا بالنقطة 1) (1, ، وبنقطة أخرى مثل 9) (3, ،
أو ​(4 ,2)، أو (1.21 ,1.1) ، تجد أن القاطع يتخذ أوضاعًا مختلفة يتغير
خاللها ميله.‏
O
y
m = 2.1
(1.1, 1.21)
(1, 1)
الدرص - 3 5 الا والش الته 181
x
O
y
(2, 4)
(1, 1)
m = 3
الص )1( الص )2( الص )3(
x
O
y
(1, 1)
(3, 9)
m = 4
x
الحظ أنه كلما قصُ‏ ر طولُ‏ الفترة بين نقطتي التقاطع ، زادت د ِ قَّةُ‏ تقريب ميل القاطع لميل المنحنى في هذه الفترة.‏ إذا
واصلنا تقصير الفترة إلى درجة تكون فيها نقطة التقاطع األخرى قريبة جدً‏ ا من النقطة (1 ,1) كما في الشكل (3) أعاله،‏
وتستمر حتى حدّ‏ االنطابق،‏ فإننا نحصل على مم اس للمنحنى،‏ وهو مستقيم يتقاطع مع المنحنى،‏ ولكنه ال يعبره عند
نقطة التماس.‏ ويمثِّل ميل هذا المستقيم ميل المنحنى عند نقطة التماس.‏
ولتعريف ميل المماس لمنحنى عند النقطة f(x)) ,x) فإنه يمكننا الرجوع إلى صيغة
ميل القاطع المار بالنقطتين (x)) (x, f و h)) (x + h, f (x + كما في الشكل
المجاور،‏ ومنه يمكن كتابة ميل القاطع بالصيغة:‏
f (x + h) - f (x)
m = __ ​ = __ f (x + h) - f (x) ​
(x + h) - x
h
وتُسَ‏ مَّى هذه الصيغة قسم ة الفرق.‏
فكلما اقتربت النقطة (x+h))​ (x+h, f من النقطة f(x)) ,x) ؛ أي كلما اقتربت قيمة
h من الصفر،‏ فإن القاطع يقترب من مماس المنحنى عند النقطة ​((x) ,x) f ؛ لذا يمكننا حساب ميل المماس
وهو م ُ عدل الت غي ّر اللحظي للدالة عند تلك النقطة على أنه نهاية ميل القاطع عندما → 0 h.
م الت اللح للال ن f النق (x, f(x)) م الا ن m النق (x, f (x))
مج النهاي ا بش m = lim ​​f __ (x + h) - f (x) ​
وي بالش ​
y
y = f(x)
O
(x + h, f(x + h))
(x, f(x))
x x + h
x
h→0
h
ويق الشتق م ش
اإيا
■ اج م الت اللح
لال ن
ما م بحشا ق
منحن الال ن ل
النق
■ اج الش التش
الته والش
الته اللح
الا
tangent line
م الت اللح
instantaneous rate of
change
ش الق
difference quotient
الش الته اللح
م عدل التير اللحي
instantaneous velocity
www.obeikaneducation.com
اختصارات
ي اتشا الل م
الا لنحن الال ب
النحن
التراب الرا‏صي
ما الدرص 5-3
إيجاد متوسط معدّ‏ ل التغيّر باستعمال
ميل القاطع.‏
الدرص 5-3
إيجاد معدّ‏ ل التغيّر اللحظي لدالة عند
نقطة بحساب ميل مماس منحنى الدالة
عند تلك النقطة.‏
إيجاد السرعة المتوسطة المتجهة
والسرعة المتجهة اللَّحظية.‏
ما بعد الدرص 5-3
استعمال المشتقات؛ في إيجاد السرعة
المتجهة اللَّحظية.‏
2 التدريص
ا‏صلة النا
اطلب إلى الطالب قراءة فقرة ‏”لماذا؟“.‏
اصال
• ما شكل المنحنى الذي يُمثّل ارتفاع
المظلي بوصفه دالة في الزمن قبل فتح
المظلة؟
قطع مكافئ
• ص ِ ف ْ معدل تغي ُّر دالة االرتفاع قبل فتح
المظلة وبعدها.‏
نالحظ أن معدل تغير دالة االرتفاع يزداد
قبل فتح المظلة،‏ وذلك نتيجة تزايد سرعته
حتى يفتح المظلة،‏ وهذا يعني أن ميل
المنحنى يزداد،‏ أما بعد فتح المظلة،‏ فإن
معدل التغير سيقل بشكل كبير،‏ وذلك
نتيجة انعدام التسارع.‏
الدرص - 3 5 الا والش الته 181