المعلم رياضيات الصف 12

C(3, -30°) (c
بما أن 30°- = θ ، لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية 30° - ، بحيث يكون
المحور القطبي هو ضلع االبتداء لها،‏ وألن = 3 r ، لذا عيِّن نقطةً‏ C تبعُد 3
وحدات عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية،‏ كما في الشكل المجاور.‏
تحقق من فهمك
(1A–1C انظر مل ح ق الإجابات.‏
مث ّل كل نقطة من النقاط الآتية:‏
F (4, - 5π_
6 ) )1C E(2.5, 240°) )1B D ( -1, π_
2 ) )1A
وللتسهيل يمكنك استعمال شبكة دائرية ‏)قطبية(،‏ لتمثيل النقاط في المستو القطبي،‏ كما سبق أن استعملت شبكة
المربعات،‏ لتمثيل النقاط في المستو اإلحداثي.‏
مث ّل كال ّ ً من النقاط الآتية في المستوى القطبي:‏
_4π ، بحيث يكون المحور
3
_
P (3, 4π
3 ) (a
3
= θ ، لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية
4π_
بما أن
القطبي هو ضلع االبتداء لها،‏ وألن = 3 r ، لذا عيِّن نقطةً‏ P تبعُد 3 وحدات
عن القطب على ضلع االنتهاء للزاوية،‏ كما في الشكل المجاور.‏
Q(-3.5, 150°) (b
بما أن 150° = θ ، لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية 150° ، بحيث يكون
المحور القطبي ضلع االبتداء لها،‏ وألن r سالبة،‏ لذا مُد َّ ضلع االنتهاء
للزاوية في االتجاه المقابل،‏ وعيِّن نقطةً‏ Q تبعد 3.5 وحدات عن
القطب على امتداد ضلع االنتهاء للزاوية،‏ كما في الشكل المجاور.‏
تحقق من فهمك
O
3
-30°
C(3, -30°)
2
تميل القا ف المستو القب
5π
6
π
7π
6
150°
2π
3
4π
3
240°
π
2
3π
2
π
3
5π
3
π
6
O
1 2 3 4 5
4π
3
P(3, _ )
300°
0
11π
6
30°
330°
2A) 2B, انظر ملحق الإجابات.‏
تميل الإحدايات القبية
المال 1 , 2 يبيّنان كيفية تمثيل اإلحداثيات
القطبية على الصورة )θ ,r(، عندما تُعطى θ
بالدرجات أو الراديان في نظام اإلحداثيات
القطبية.‏
الما 3 يبيّن كيفية إيجاد إحداثيات قطبية
متعددة تمثل نقطةً‏ واحدةً.‏
التقو التو
استعمل تدريبات ‏”تحقق من فهمك“‏ بعد
كل مثال؛ للتحقق من مد فهم الطلاب
المفاهيم.‏
ما اإساف
مثّل كل نقطة من النقاط الآتية في
المستو القطبي:‏
S(1, 200°)
2
1
O
S)1 , 200°( (a
200°
R (-2 , 3π_
2
) (b
R( 2, 3π_ 2
)
3π_
2
1
180°
210°
120°
90°
270°
60°
0°
O 1 2 3 4 5
Q(-3.5, 150°)
مث ِّل كال ّ ً من النقاط الآتية في المستوى القطبي:‏
S(-2, -135°) (2B R (1.5, - 7π_
6 ) (2A
O
M)4 , -90°( (c
O
4 -90°
M(4, -90°)
في نظام اإلحداثيات الديكارتية كل نقطة يُعب َّر عنها بزوج وحيد من اإلحداثيات (y ,x). إال أن هذا ال ينطبق على نظام
اإلحداثيات القطبية؛ وذلك ألن قياس كل زاوية يُكتب بعدد النهائي من الطرائق؛ وعليه فإن للنقطة (θ ,r) اإلحداثيات
360°) (r, θ ± أو 2π) (r, θ ± أيضً‏ ا كما هو مبيّن أدناه.‏
(θ + 360)°
O
r
θ
P(r, θ)
P(r, θ + 360°)
(θ - 360)°
O
r
θ
P(r, θ)
P(r, θ - 360°)
الق
م يم القط بالقطة
اوة اأ θ حي (0, θ )
الدرص - 1 4 الإحداثيات القطبية 127
للمعل الدد
فرة الإحدايات القبية
y
0
60°
O 1
x
في المستو اإلحداثي،‏ يمكن التعبير عن موقع النقطة ) 3 P ,1) √ Ç ‏)الواردة في فقرة تمثيل اإلحداثيات القطبية في
، ÆÆÆ والذي طوله وحدتان،‏ وزاويته مع األفقي 60°، األمر الذي دعا إلى التفكير في إمكانية التعبير
عن موقع النقطة P مباشرةً،‏ بداللة طول هذا المتجه والزاوية θ بالصورة (60° ,2)P، ومن هنا ظهرت فكرة إنشاء نظام
اإلحداثيات القطبية؛ لتحديد موقع النقطة P بداللة اإلحداثيين ‏)المسافة المتجهة،‏ والزاوية المتجهة(.‏
الصفحة 126( بالمتجه OP
الدرص - 1 4 الإحداثيات القطبية 127