المعلم رياضيات الصف 12

a
ال التا هو نوع آخر من الضرب بين المتجهات في الفضاء،‏ وبخالف الضرب
الداخلي،‏ فإن الض رب الاتجاهي لمتجهين a , b هو متجه وليس عددًا،‏ ويُرمز له بالرمز a، × b
ويُقرأ ، a cross b ويكون المتجه a × b عمودي ّ ًا على المستو الذي يحوي المتجهين . a , b
اإا ا اإ a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , b = b 1 i + b 2 j + b 3 k ال الجا للمتجه a , b
a × b = ( a 2 b 3 - a 3 b 2 )i - ( a 1 b 3 - a 3 b 1 )j + ( a 1 b 2 - a 2 b 1 )k المتج
إذا طب َّقنا قاعدة حساب قيمة محد ّ دة من الدرجة الثالثة على المحد ّ دة أدناه،‏ والتي تتضمن متجهات الوحدة ، ,i ,j k
وإحداثيات كل ٍّ من ، a , b فإننا نتوصل إلى القاعدة نفسها للمتجه . a × b
a × b =
⎜
⎜ a 2
b 2
i
a 1
b 1
j
a 2
b 2
a 3
b 3
⎟ i- ⎜ a 1
b 1
k
a 3
b 3
⎟
a 3
b 3
⎟ j+ ⎜ a 1
b 1
ب متجهات ال i , j , k ال 1
ب اإاات a ال 2
ب اإاات b ال 3
a 2
b 2
⎟ k
a × b = ( a 2 b 3 - a 3 b 2 ) i - ( a 1 b 3 - a 3 b 1 ) j + ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) k
أوجد الضرب الاتجاهي u × v حيث:〈‏‎1‎ 〈-3, 3, = v ، u = 〈3, -2, 1〉, ثم بي ّن أن u × v يعامد كلا ّ ً من .u , v
i j
=​​⎜ ​
​​ k
​​ 3
​ -2 1 ​⎟ u = 3i - 2j + k , v = -3i + 3j + k u × v
​
-3 3 1
الال الج مح م اإجا ا = ⎜ -2 1
3 1⎟ i - 3 1
⎜
-3 1⎟ j + 3 -2
⎜
-3 3⎟ k
= (-2 - 3)i - [3 - (-3)]j + (9 - 6)k
u × v
x
u
a × b
b
z
O
اج م مح الج الا
v
y
ب
ال الإا
= -5i - 6j + 3k
= 〈-5, -6, 3〉
وإلثبات أن u × v يعامد كال ّ ً من u , v جبري ّ ًا،‏ أوجد الضرب الداخلي
ل u × v مع كل ٍّ من . u , v
(u × v) · v
(u × v) · u
= 〈-5, -6, 3〉 · 〈-3, 3, 1〉 = 〈-5, -6, 3〉 · 〈3, -2, 1〉
= -5(-3) + (-6)(3) + 3(1) = -5(3) + (-6)(-2) + 3(1)
= 15 + (-18) + 3 = 0 ✔ = -15 + 12 + 3 = 0 ✔
بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرً‏ ا،‏ فإن u × v
عمودي على كل ٍّ من . v , u
تحقق من فهمك
,3A) B للإثبات انظر ملحق الإجابات
أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u , v في كل ٍّ ممايأتي،‏ ثم بي ّن أن u × v يعامد كلا ّ ً من : u , v
u = 〈-2, -1, -3〉, v = 〈5, 1, 4〉 (3B u = 〈4, 2, -1〉, v = 〈5, 1, 4〉 (3A
ل ما المت
مت اإا ا ما ل
مت ا
المت ات م
ال التا للمهات ف الا
3
الا ا
ا اتما م
الا لإجا مح
الم م ال × 3 3
الت تها ابا ق
الات ال
الم تاب ا 1:
ال الا م
المح
ا اج :2
ال ال ا
ل الا ات
الماات الم اجم
a
d
g
b
e
h
c
f
i
a
d
g
b
e
h
ا اج :3
ال ال ا
ل الا ات
الماات الم اجم
اإا ال التا لمهن
a
d
g
b
e
h
c
f
i
a
d
g
b
e
h
م لإجا :4
المح ا ال
3 م ا ال 2
ال التا
الجا ال ق -
ا المتجهات ل
الإاات ال البا
ل ق ل
المتجهات المت
الإا
- ال الجا ل
اإبالا(‏a (a × b ≠ b ×
〈9, -21, -6〉 (3A
〈-1, -7, 3〉 (3B
114 الوحدة 3 المتجهات
مال اإافا
أوجد حاصل الضرب الداخلي
للمتجهين u و v في كل ٍّ مما يأتي،‏
ثم حدد ما إذا كانا متعامدين:‏
u = 〈-1, 6, -3〉, (a
. v = 〈3, -1, -3〉
0، متعامدان
u = 〈2, 4, -6〉, (b
. v = 〈-3, 2, 4〉
22-، غير متعامدين
أوجد قياس الزاوية θ بين v u، إذا كان:‏
v = 〈7, 3, 4〉 ، u = 〈-4, -1, -3〉
.ٍ 168.6° تقريبًا
إلى أقرب منزلةٍ‏ عشرية
القو الو
استعمل تدريبات ‏”تحقق من فهمك“‏ بعد كل
مثال؛ للتحقق من مد فهم الطالب المفاهيم.‏
للمل الدد
محدة الموف من الت × 3 3
يمكن أن يستعمل الطالب قاعدة األقطار؛
لحساب قيمة محددة المصفوفة من
الرتبة × 3 3 .
ال التا
الما 3 يُبي ّن كيفية إيجاد الضرب االتجاهي
لمتجهَ‏ ين في الفضاء.‏
الما 4 يُبي ّن كيفية إيجاد مساحة متوازي
أضالع في الفضاء.‏
الما 5 يُبي ّن كيفية إيجاد حجم متوازي
سطوح.‏
مال اإافا
1
2
ما اإاف
أوجد الضرب االتجاهي للمتجهين:‏ 2〉 -4, 〈-1, = v ،u = 〈6, -1, -2〉 , ثم بي ّن أن u × v يُعامد ك ّ ًال
من .u , v -25〉 -10, ،〈-10,
3
أوجد مساحة متوازي األضالع الذي
فيه:‏ , 2k u = -3i - 4j +
v = 5i - 4j- k ضلعان متجاوران.‏
34.89 وحدةً‏ مربعةً‏ تقريبًا.‏
4
(u × v) · u
(u × v) · v
=​〈-10,​-10,​-25〉​·​〈6,​-1,​-2〉
​=​-60​+​10​+​50​=​0
أوجد حجم متوازي السطوح الذي
فيه:‏
أي أن:‏ u×v يعامد u
​=​〈-10,​-10,​-25〉​·​〈-1,​-4,​2〉
​=​10​+​40​-​50​=​0
أي أن:‏ u×v يعامد v
t = -3i + 3j + 2k ,
u = -3i - 4j + 2k ,
v = 5i - 4j - k أحرف
متجاورة.‏ 49 وحدةً‏ مكعبةً‏ .
5
114 الوحدة 3 المتجهات