المعلم رياضيات الصف 12

ينتج عن اختصار العامل المشترك بين بسط ومقام الدالة النسبية دالة جديدة ، ففي المثال 3a ينتج عن االختصار بين
بسط ومقام الدالة f دالة جديدة ، g حيث:‏
f (x) = _
x 2 - x - 20
, g(x) = x - 5
x + 4
إن قيم هاتين الدالتين متساوية لجميع قيم x إال عندما ​4- = x ، فإذا تساوت قيم دالتين إال عند قيمة وحيدة ، c فإن
نهايتيهما عندما تقترب x من c متساويتان ؛ ألن قيمة النهاية ال تعتمد على قيمة الدالة عند النقطة التي تُحسبُ‏ النهاية
. ​​lim _
x 2 - x - 20
عندها؛ لذا فإن 5) - (x = lim
x→-4 x + 4 x→-4
والطريقة األخرى لإيجاد نهايات ناتج ِ التعويض ِ فيها صيغة غير محددة ، هي إنطاق البسط أو المقام أوالً‏ ، ثم اختصار
العوامل المشتركة.‏
4
احسب _
يَنتج عن التعويض المباشر
​​Ç√​ ​ ؛ لذا أنطق البسط،‏ ومن ثم اختصر العوامل المشتركة.‏
اش م الش والقا √ x Ç + 3 وال ي ماق - 3 x √ Ç
بش
اتش الام الشت
بش
بش
_
​f (x) = √​ Ç​ x - 3
x - 9
√ Ç x - 3
. lim
x→9 x - 9
_ 9 - 3
9 - 9 = ​​0_ 0
√​Ç​ x - 3
lim _ √​Ç​ x - 3
= lim _ _
x→9 x - 9 · √ x Ç + 3
x→9 x - 9
√ Ç x + 3
= lim __ x - 9
x→9 (x - 9)( √​Ç​ x + 3)
= lim __ x - 9
x→9 (x - 9)( √​Ç​ x + 3)
= lim
1_
x→9 √​Ç​ x + 3
=
= 1_
6
1_
√​Ç​ 9 + 3
تحقق يعزِّ‏ ز التمثيل البياني بالآلة البيانية للدالة ​
في الشكل المجاور هذه النتيجة.‏
تحقق من فهمك
احسب كل نهاية مما يأتي:‏
اصتعمال اإناق ال‏ص ا المقا لحصاب النهايات
حصاب النهاية ند نقة
المثال 4 يُبيِّنُ‏ كيفية استعمال فكرة إنطاق
البسط أو المقام؛ في حساب النهايات .
مثال اإصافي
1_
4 .lim
x→4
_
√​Ç​ x - 2
x - 4
4 احسب
[-0.1, 20] scl: 1 by [-0.05, 0.4] scl: 0.05
- 1_
4
lim _
2 - √​ÇÇÇ​ x + 4
x - 25
(4B 10 lim _
x→0 x
x→25 √​Ç​ x - 5 (4A
حصاب النهايات ند المالنهاية درست سابقًا أن لجميع الدوال الزوجية سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه ،
وكذلك الدوال الفردية لها جميعًا سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه.‏
O
y
نهايات ال القو ند المالنهاية
نمو
f(x) = x 3
x
O
y
f(x) = x 2
x
وجا ا n ا اإا
اي ا n ا اإا
ال شح مج n
lim x n = ∞ •
x→∞
lim x n = ∞ •
x→-∞
lim x n = -∞ •
x→-∞
إن سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود هو ذاته سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة القوة الناتجة عن الحد
الرئيس في كثيرة الحدود ، وهو الحد ذو القوة الكبرى،‏ ويمكننا وصف ذلك أيضً‏ ا باستعمال النهايات.‏
الدرص - 2 5 شا النهايات جيا 173
الدرص - 2 5 شا النهايات جيا 173