المعلم رياضيات الصف 12

Q(-2, 135°) (b
بما أن إحداثيات النقطة 135°) (- 2 , = θ) (r , ، فإن 135° = θ . r = -2 ,
y = r sin θ
= -2 sin 135°
_
= -2( √ 2
2
) = - √ Ç 2
الحو ي
r = -2 , θ = 135°
ب
x = r cos θ
= -2 cos 135°
= -2 _
(- √ Ç 2
2
) = √ Ç 2
أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة Q هي ) 2 √ Ç 2 , - √ Ç ( أو -1.41) , (1.41
تقريبًا كما في الشكل أعلاه.‏
V(3, -120°) (c
بما أن إحداثيات النقطة -120°) , (3 = θ) (r , ، فإن -120° = θ r = 3 ,
y = r sin θ
= 3 sin (-120°)
_
_
= 3 (- √ Ç 3
2
) = - 3 √ 3 Ç
2
الحو ي
r = 3 , θ = -120°
ب
x = r cos θ
= 3 cos (-120°)
= 3 (- 1_ = -
2) 3_
2
134 الوحدة 4 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة
_3 -) أو (2.6- , 1.5-) تقريبًا كما في الشكل أعلاه.‏
π
π_ y 2
135°
O
2
π
2
3
R
Q
2 , - _ 3 √ 3 Ç
2
أي أن اإلحداثيات الديكارتية للنقطة V هي )
تحقق من فهمك
حو ِّ ل الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية،‏ لكل نقطة مما يأتي:‏
T (-3 , 45° ) )1C S ( 5 , π_
3 )
)1B R(- 6 , -120°) )1A
ولكتابة زوج اإلحداثيات الديكارتية بالصيغة القطبية،‏ فإنك بحاجة إلى إيجاد المسافة المتجهة r من نقطة األصل أو
القطب إلى النقطة (y ,x) ، و قياس الزاوية المتجهة التي يصنعها OP مع الجزء الموجب من المحور x أو المحور
القطبيّ‏ .
استعمل نظرية فيثاغورس؛ إليجاد المسافة r من النقطة (y ,x) إلى نقطة األصل.‏
π_ 2
y
واي رة
للطري الموج الربيع ال
r 2 = x 2 + y 2
r =
√ ÇÇÇ x 2 + y 2
ترتبط الزاوية θ بكل من x , y من خلال دالة الظل،‏ وإليجاد الزاوية θ:
2 , π_
ال عر
Ta
دالة معو ال
tan θ = y_
x
θ = n -1 _ y x
_π -) أو (90° ,90°-) في نظام اإلحداثيات الديكارتية.‏
تذكّر أن الدالة العكسيّة للظل معرّ‏ فة فقط على الفترة ) 2
وتُعطى قيم θ الواقعة في الربع األول أو الرابع،‏ أي عندما تكون > 0 x ، كما في الشكل . 4.2.1 وإذا كانت < 0 x ،
فإن الزاوية تقع في الربع الثاني أو الثالث،‏ لذا عليك إضافة π أو 180° ‏)طول الدورة للدالة ) y = tan x إلى قياس
الزاوية المعطاة بالدالة العكسيّة للظل كما في الشكل . 4.2.2
π
0
x
O
-120°
y
r
θ
O x
3π_ 2
P(x, y)
P(x, y)
y
0
x
θ + π
انظر الهامش.‏
0
x
π_
2
3π_
2
x عندما < 0 θ = Ta n -1 y _
x أو + 180° θ = Ta n -1 y _
x + π
السل 4.2.2
y
O
θ
0
x
π
π_
2
y
P(x, y)
θ
0
O
x
3π_
2
x عندما > 0 θ = Ta n -1 _ y x
السل 4.2.1
الإحدايات القبية والدارتية
الما 1 يُبيّن كيفية تحويل اإلحداثيات
القطبية إلى إحداثيات ديكارتية.‏
الما 2 يُبيّن كيفية تحويل اإلحداثيات
الديكارتية إلى إحداثيات قطبية.‏
الما 3 يُبيّن كيفية التحويل بين اإلحداثيات
القطبية والديكارتية.‏
التقو التو
استعمل تدريبات ‏”تحقق من فهمك“‏ بعد
كل مثال؛ للتحقق من مد فهم الطلاب
المفاهيم.‏
ما اإساف
حوّ‏ ل اإلحداثيات القطبية إلى
إحداثيات ديكارتية لكل نقطة مما
يأتي :
تحول الإحدايات
اإ العملية المبعة لحو
الإحداثيات الداية اإل
الإحداثيات القطبية
العملية المبعة اا
اإاد و الم واا
D ( 1, √ Ç
3 ) (a
أو تقريبًا (1.37 ,1)D
3 ) D ( 2, π_
F(-5, 45°) (b
(_ F أو
-5 √ Ç 2 ,_
-5 √ Ç 2
2 2
)
تقريبًا -3.54) F(-3.54,
H (-2, 2 √ Ç 3 ) H)4, -240°( (c
أو تقريبًا (3.46 ,2-)H
للمعل الدد
سب الوسعية ذكِّر الطلاب بأن عليهم
ضبط وضعية الآلة الحاسبة في المثال ‎1a؛
لتكون RADIAN ‏)راديان(،‏ وذلك بالضغط
على ثم ثم
االختيار.‏ أما في المثالين ، lb, lc فإن عليهم
ضبط الوضعية لتكون DEGREE ‏)درجة(‏
بنفس الطريقة.‏
اإجابات ‏)تحقق من فهمك(:‏
√ Ç 3 ) (1A 3 (3, أو 5.20) (3, تقريبًا
√ Ç 3 ) (1B 2.5 (2.5, أو 4.33) (2.5, تقريبًا
_ أو -2.1) (-2.1, تقريبًا
(- 3 √ 2 Ç
2 , - _ 3 √ 2 Ç
2
) (1C
1
134 الوحدة 4 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة