المعلم رياضيات الصف 12

محات
د الواا الموجبة
والالبة وما
الو القيا وعلم
المي البيا لمعادلت
الإحداث المو
■ اأم قا ا بالإحداثيات
القطبية
■ اأم بيايا معادلت طبية
بيطة
ا الإحداثيات القطبية
126 الوحدة 4 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة
القبية الإحدايات
Polar Coordinates
يَستعملُ‏ مراقبو الحركة الجوية أنظمةَ‏ رادار حديثة لتوجيه مسار الطائرات،‏
والحصول على مسارات ورحلات جوية آمنة.‏ وهذا يضمن بقاء الطائرة على
مسافة آمنة من الطائرات األخر‏،‏ والتضاريس األرضية.‏ ويستعمل الرادار
قياسات الزوايا والمسافات المتجهة؛ لتمثيل موقع الطائرة.‏ ويقوم المراقبون
بتبادل هذه المعلومات مع الطيارين.‏
تميل الإحدايات القبية لقد تعلمتَ‏ التمثيلَ‏ البياني لمعادالت معطاة في نظام اإلحداثيات الديكارتيّة
‏)المستو اإلحداثي(.‏ وعندما يحدد مراقبو الحركة الجوية موقع الطائرة باستعمال المسافات والزوايا،‏ فإنهم
يستعملون نظام الإحد اثيات القطبية ‏)المستو القطبي(.‏
في نظام اإلحداثيات الديكارتية،‏ المحوران x , y هما المحوران األفقي والرأسي
على الترتيب،‏ وتُسم َّى نقطة تقاطعهما نقطة األصل،‏ ويرمز لها بالحرف O. ويُعي َّنُ‏
موقع النقطة P باإلحداثيات الديكارتية من خلال زوج مرتب (y x) , ، حيث x , y
المسافتان المتّجهتان األفقية،‏ والرأسية على الترتيب من المحورين إلى النقطة.‏
√ Ç ,1) على بُعد وحدة وحدة إلى يمين المحور ، y وعلى
فمثلاً‏ ، تقع النقطة ) 3
بُعد √ Ç 3 وحدة إلى أعلى المحور . x
في نظام اإلحداثيات القطبية،‏ نقطة األصل O نقطة ثابتة تُسمى الق طب.‏
والمح ور القطبي هو نصف مستقيم يمتد أفقي ّ ًا من القطب إلى اليمين.‏
يمكن تعيين موقع نقطة P في نظام اإلحداثيات القطبية باستعمال الإح داثيات
(θ ,r) ، حيث r المسافة المتّجهة ‏)أي تتضمن قيمةً‏ واتجاهً‏ ا،‏ فمن الممكن أن
تكون r سالبة(‏ من القطب إلى النقطة ، P و θ الزاوية المتّجهة ‏)أي تتضمن قيمةً‏
واتجاهً‏ ا(‏ من المحور القطبيّ‏ إلى . OP ÈÈ
القياس الموجب للزاوية θ يعني دورانًا بعكس اتجاه عقارب الساعة بدءًا من المحور القطبي،‏ في حين يعني القياس
السالب دورانًا باتجاه عقارب الساعة،‏ ولتمثيل النقطة P باإلحداثيات القطبيّة،‏ فإن P تقع على ضلع االنتهاء للزاوية θ
إذا كانت r موجبة.‏ أما إذا كانت سالبة،‏ فإن P تقع على نصف المستقيم المقابل ‏)االمتداد(‏ لضلع االنتهاء للزاوية . θ
مث ّل كل نقطة من النقاط الآتية في المستوى القطبي:‏
A(2, 45°) (a
بما أن 45° = θ ، فارسم ضلع االنتهاء للزاوية 45° ، بحيث يكون المحور
القطبي هو ضلع االبتداء لها،‏ وألن = 2 r ، لذا عيِّن نقطةً‏ A تبعُد وحدتين عن
القطب على ضلع االنتهاء للزاوية 45° ، كما في الشكل المجاور.‏
2π_
B (-1.5,
3 ) (b
= θ، لذا ارسم ضلع االنتهاء للزاوية _2π ، بحيث يكون المحور
2π_
بما أن
3
3
polar coordinate system
القط
pole
المحو القطب
polar axis
الإحداثيات القطبية
polar coordinates
المعادلة القطبية
polar equation
المي القطب
polar graph
القطبي هو ضلع االبتداء لها،‏ وألن r سالبة،‏ لذا مُد َّ ضلع االنتهاء في االتجاه
المقابل،‏ وعيِّن نقطةً‏ B تبعُد 1.5 وحدة عن القطب على امتداد ضلع االنتهاء ،
كما في الشكل المجاور.‏
O
O
y
r
x
θ
P(x, y)
y
x
P(r, θ)
1
تميل الإحدايات القبية
O
O
1.5
2
2π
3
45°
A(2, 45°)
2π
B (-1.5, _ 3
)
4 الدرص
-1
1 التري
التراب الرا‏س
ما بل الدرص 4-1
رسم زوايا موجبة وسالبة معطاة
بالدرجات والراديان في الوضع القياسي.‏
الدرص 4-1
تمثيل نقاط باإلحداثيات القطبية.‏
تمثيل معادالت قطبية بسيطة بياني ّ ًا.‏
ما بعد الدرص 4-1
تحويل اإلحداثيات القطبية إلى ديكارتية
والعكس.‏
2 التدرص
ا‏سئلة البا
اطلب إلى الطلاب قراءة فقرة ‏"لماذا؟".‏
واسا‏:‏
• إالمَ‏ يُشير اإلحداثيان في الزوج المرتب
)y ‏,‏x‏(؟ يشيران إلى المسافة األفقية
والمسافة الرأسية عن نقطة األصل.‏
• ما قياس الزاوية الناتجة عن المستقيم
الواصل بين نقطة األصل والنقطة
(_ A ؟ 45°
√ Ç 2
2 , _ √ 2 Ç
)
2
ارسم الجزء الآتي من دائرة الوحدة على
السبورة.‏
O
π_
2
y
90°
(0, 1)
1
45°
_
√2
2
A( √2
π_
4
_ 2 ,_ √2
)
2
_ √2
2
(1, 0)
x
• إالمَ‏ يُشير الزوج المرتب )45° ‏,‏‎1‎‏(؟
إجابة ممكنة:‏ تقع النقطة على بُعد وحدة
واحدة من نقطة األصل،‏ وعلى نصف
المستقيم الذي يصنع زاويةً‏ قياسها 45° مع
المحور x.
126 الوحدة 4 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة