المعلم رياضيات الصف 12
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
•<br />
•<br />
•<br />
<br />
تزو ّ د السلسلة الطلاب بخطط ٍ ملائمة لحل المسألة، ومهارات وتطبيقات عليها خلال <strong>الصف</strong>وف؛ إذ يتوافر لهم فرص مستمرة لتطبيق مهارات<br />
ال<strong>رياضيات</strong>، وحل المسائل باستعمال التفكير البصري، والاستدلال المنطقي، والحس العددي، والجبر.<br />
<br />
، cos θ أي مما يأتي لا يكافئ <br />
D ؟ 0 < θ < π_<br />
(50<br />
حيث 2<br />
cot θ sin θ C<br />
__ cos θ<br />
cos 2 θ+sin 2 θ<br />
tan θ csc θ D 1-sin2 _ θ<br />
cosθ<br />
<br />
تساعد استراتيجيات حل المسألة الطلاب على<br />
تعلم طرائق مختلفة لمواجهة المسائل الكلامية.<br />
13<br />
W = eAS cos θ ( a<br />
1 - 1<br />
أوجد القيمة الدقيقة لكل من النسب المثلثية الآتية: 1<br />
1_<br />
2<br />
0° < θ < 90° ، cot θ إذا كان = 2 ، tan θ (1<br />
_ 3 √ 5<br />
<strong>12</strong>_<br />
0° < θ < 90° ، cos θ = 2_ إذا كان ، csc θ (2<br />
5<br />
3<br />
- 270° < θ < 360° ، cos θ = 5_ إذا كان ، sin θ (3<br />
13<br />
13<br />
√ 2 270° < θ < 360° ، tan θ = إذا كان -1 ، sec θ (4<br />
2 √ 2 180° < θ < 270° ، sec θ = إذا كان -3 ، tan θ (5<br />
_- √ 17<br />
180° < θ < 270° ، cot θ = 1_ إذا كان ، csc θ (6<br />
4<br />
4<br />
_-3<br />
90° < θ < 180° ، sin θ = 4_ إذا كان ، cos θ (7<br />
5<br />
5<br />
_ 2 √ 77<br />
sin θ < 0 ، sec θ = - 9_ إذا كان ، cot θ (8<br />
77<br />
2<br />
بس ِّ ط كل عبارة مما يأتي: 2<br />
1 csc 2 θ - cot 2 sin θ cos θ<br />
θ (10<br />
tan θ cos 2 θ (9<br />
sec 3 θ<br />
sec θ tan 2 θ + sec θ cot 2 cos θ csc θ<br />
( <strong>12</strong><br />
θ _ ( 11<br />
tan θ<br />
1 sin ( π_<br />
2 - θ) sec θ ( 14 csc θ sin θ (1 + cot 2 θ) ( 13<br />
cos 2 θ<br />
cos (-θ)<br />
(1 + sin θ)(1 - sin θ ) ( 16 -cot θ _ ( 15<br />
sin (-θ)<br />
csc θ -cos θ cot θ ( 18 2 cos 2 θ 2 - 2 sin 2 θ ( 17<br />
sin θ<br />
عندما يمر الضوء من خلال عدسة مستقطبة للضوء، فإن<br />
شدة الضوء المار بهذه العدسة سيقل بمقدار النصف، ثم إذا م ّر<br />
الضوء بعدسة أخر بحيث يكون محور هذه العدسة يصنع زاوية<br />
قياسها θ مع محور العدسة الأولى، فإن شدة الضوء تقل مرة أخر.<br />
- 0 ، I = I حيث<br />
I 0_<br />
csc 2 θ<br />
يمكننا إيجاد شدة الضوء باستعمال الصيغة<br />
I 0 شدة الضوء القادمة من العدسة الأولى المستقطبة، I هي شدة<br />
الضوء الخارجة من العدسة الثانية، θ الزاوية بين محوري<br />
العدستين. 3<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
I = I 0 cos 2 θ cos θ بس ّ ط الصيغة بدلالة (a<br />
b) استعمل الصيغة المبسطة؛ لمعرفة شدة الضوء المار بالعدسة<br />
الثانية بدلالة شدة الضوء قبل المرور بها إذا كان محور العدسة<br />
الثانية يصنع زاوية قياسها 30° مع محور العدسة الأولى.<br />
= I؛ _3 شدة الضوء تساوي ثلاثة أرباع شدة<br />
4 I 0 (27 b<br />
الضوء قبل المرور بالعدسة الثانية.<br />
e ترتبط قدرة كل جسم على امتصاص الطاقة بعامل <br />
ي ُسم ّ ى قابلية الامتصاص للجسم. ويمكن حساب قابلية الامتصاص<br />
، e = W _ sec θ حيث W معدل امتصاص جسم<br />
AS<br />
باستعمال العلاقة<br />
الإنسان للطاقة من الشمس، و S مقدار الطاقة المنبعثة من الشمس<br />
بالواط لكل متر مرب ّع، و A المساحة السطحية المعر ّ ضة لأشعة<br />
الشمس، و θ الزاوية بين أشعة الشمس والخط العمودي على الجسم.<br />
W. حل المعادلة بالنسبة ل ِ a)<br />
e = 0.80 , θ = 40° , A إذا كانت = 0.75 W أوجد (b<br />
. S = 1000 /W m 2 (قر ِّ ب إلى أقرب جزء من مئة).<br />
459.63W<br />
في هذه المسألة، سوف تستعمل الحاسبة<br />
البيانية ؛ لتحدد ما إذا كانت معادلة ما تمث ِّل متطابقة مثلثية أم لا. هل<br />
ت ُمث ّل المعادلة: tan 2 θ - sin 2 θ = tan 2 θ sin 2 θ متطابقة؟<br />
a) أكمل الجدول الآتي.<br />
θ 0° 30° 45° 60°<br />
tan 2 θ - sin 2 θ 0 1_<br />
<strong>12</strong><br />
tan 2 θ sin 2 θ 0 1_<br />
<strong>12</strong><br />
1_<br />
2<br />
1_<br />
2<br />
9_<br />
4<br />
9_<br />
b) استعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا ّ ً من طرفي المعادلة<br />
انظر الهامش.<br />
c) "إذا كان التمثيلان البيانيان لدالتين متطابقين ؛ فإن<br />
المعادلة تمث ِّل متطابقة". هل التمثيلان البيانيان في الفرع (b)<br />
متطابقان؟ نعم<br />
d) استعمل الحاسبة البيانية لمعرفة ما إذا كانت المعادلة:<br />
tan 2 θ - sin 2 θ = tan 2 θ sin 2 θ كدالة ، بياني ّ ًا.<br />
sec 2 x - 1 = sin 2 x sec 2 x تمث ِّل متطابقة أم لا. (تأكد أ ّن<br />
الحاسبة البيانية بنظام الدرجات) نعم<br />
يتزل ّج شخص كتلته m في اتجاه أسفل هضبة<br />
ثلجية بزاوية قياسها θ درجة وبسرعة ثابتة. عند تطبيق قانون نيوتن في<br />
مثل هذه الحالة ينتج نظام المعادلات الآتي:<br />
عند مرور تيار مترد ّد من خلال مقاومة ، R فإن القدرة<br />
f حيث ، P = I 0 2 R sin 2 2π f t من الثواني ت ُعطى بالصيغة: t بعد P<br />
التردد ، 0 I أعلى قيمة للتيار.<br />
. cos 2 2π f t اكتب صيغة للقدرة بدلالة (a<br />
. csc 2 2π f t اكتب صيغة للقدرة بدلالة (b<br />
P = I 2 0 R (1 - cos 2 2πf t) (42a<br />
في هذه المسألة ، ستكتشف طريقة حل<br />
معادلة مثل 1= 2 sin x .<br />
a) أعد كتابة المعادلة السابقة بحيث تكون sin x فقط في<br />
أحد الطرفين.<br />
مستعملا ً b) الحاسبة البيانية، مث ِّل كلا ّ ً من طرفي المعادلة<br />
التي أوجدتها في الفرع (a)بياني ّ ًا كدالة في المجال 0 ≤ x < 2 π<br />
وفي المستو الإحداثي نفسه. ثم حدد جميع نقاط التقاطع<br />
بينهما، وأوجد قيم x بالراديان.<br />
c) مستعملا ً الحاسبة البيانية، مث ِّل كلا ّ ً من طرفي<br />
المعادلة التي أوجدتها في الفرع (a) بياني ّ ًا، كدالة في المجال<br />
-2 π < x < 2 π وفي المستو الإحداثي نفسه، ثم حدد<br />
جميع نقاط التقاطع بينهما ، وأوجد قيم x بالراديان.<br />
(d<br />
خم ِّ ن الصيغة العامة لحلول المعادلة. وضح إجابتك.<br />
43b-dانظر ملحق الاجابات.<br />
<br />
حد ّ د المعادلة المختلفة عن المعادلات<br />
الثلاث الأخر. وضح إجابتك. انظر الهامش<br />
أثبت أن المعادلة التالية تمث ِّل متطابقة:<br />
انظر ملح ق الإجابات.<br />
si n 3 θ cos θ + co s 3 θ sin θ = sin θ cos θ<br />
A<br />
B<br />
(51<br />
_<br />
I 2 P = 0 R<br />
csc 2 2π f t<br />
sin x = 1_<br />
2 (43a<br />
(42<br />
(43<br />
(44<br />
µ k = tan θ<br />
θ<br />
g حيث ، F n - mg cos θ = 0 , mg sin θ - µ k F n = 0<br />
تسارع الجاذبية الأرضية، و F n القوة العمودية المؤث ّرة في المتزلج،<br />
و µ k معامل الاحتكاك. استعمل هذا النظام لتكتب µ k كدالة في θ.<br />
4<br />
(20<br />
(21<br />
(22<br />
<br />
θ<br />
(19<br />
1 + cot 2 θ = csc 2 θ<br />
sin 2 θ + cos 2 θ = 1<br />
tan 2 θ + 1 = sec 2 θ<br />
sin 2 θ - cos 2 θ = 2 sin 2 θ<br />
19<br />
1 - 2<br />
بي ّن لماذا ت ُعد ّ = 1 θ sin 2 θ + cos 2 متطابقة، ولكن<br />
sin θ = √ 1 - cos θ ليست متطابقة. مثال مضاد: 30° , 45°<br />
(46<br />
<br />
تتطلب هذه المسائل استعمال مهارات التفكير العليا<br />
(التحليل، والتركيب، ... ، إلخ).<br />
يجد زميلك صعوبة في برهنة متطابقة مثلثية تتضمن<br />
قو دوال مثلثية. اكتب سؤالا ً قد يساعده في ذلك.<br />
(46 - 47 انظر الهامش.<br />
اكتب موضح ً ا لماذا ي ُفضل إعادة كتابة المتطابقات المثلثية<br />
بدلالة الجيب (θ (sin وجيب التمام (θ (cosفي معظم الأحيان.<br />
إذا علمت أنβ ,αزاويتان متتامتان، فبرهن أن:<br />
= 1 β . cos 2 α + cos 2 انظر الهامش.<br />
برهن صحة متطابقتي فيثاغورس الثانية والثالثة.<br />
انظر ملحق الإجابات.<br />
(45<br />
(47<br />
(48<br />
(49<br />
<br />
T7
Change language