المعلم رياضيات الصف 12

عملية إيجاد المسافة بين نقطتين،‏ وإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء تشبهان عملية إيجاد المسافة،‏ ونقطة
منتصف قطعة مستقيمة في المستو اإلحداثي .
x
z
O
M
A(x 1 , y 1 , z 1
)
الما
( x 2 , y 2 , z 2 ) = (70, 92, 30) , ( x 1 , y 1 , z 1 ) = (10, 12, 50)
A( x 1 , y 1 , z 1 ) , B( x 2 , y 2 , z 2 ) الت ب الما
بال
AB = √​ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ​
( x 2 - x 1 ) 2 + ​( y 2 - y 1 ) 2 + ​( z 2 - z 1 ) 2
ب
بال AB
___ ل M المت
_,_
y 1 + y 2
,_
z 1 + z 2
2 2
)
M ( x 1 + x 2
2
رحل تتحرك العربة في الشكل المجاور على
سلسلة مشدودة،‏ تربط بين منص َّ تين تسمح للمتنزهين بالمرور فوق مناظر طبيعية خلابة.‏ إذا م ُ ثلت المنصتان
بالنقطتين:‏ 50) (10, 12, , 30) ،(70, 92 , وكانت
الإحداثيات معطاة بالأقدام،‏ فأجب عما يأتي:‏
أوجد طول السلسلة اللازمة للربط بين المنص َّ ت َين
a) إلى أقرب قدم ٍ.‏
استعمل صيغة المسافة بين نقطتين.‏
AB = √​ ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( x 2 - x 1 ) 2 + ​( y 2 - y 1 ) 2 + ​( z 2 - z 1 ) 2 ​
= √​ ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ (70 - 10) 2 + ​(92 - 12) 2 + ​(30 - 50) 2 ​
≈ 101.98
أي أننا نحتاج إلى حبلٍ‏ طوله 102 ft تقريبًا للربط بين المنص َّ تين.‏
المت
( x 2 , y 2 , z 2 ) = (70, 92, 30) , ( x 1 , y 1 , z 1 ) = (10, 12, 50)
b) أوجد إحداثيات منتصف المسافة بين المنص َّ تين.‏
استعمل صيغة نقطة المنتصف في الفضاء .
=​​(​​ _
​x 1 + x 2
,_
y 1 + y 2
, z 1 + z 2
M _
2 2 2
)
10 + 70
= (_
,_
12 + 92
,_
50 + 30
2 2 2
)
=​(40, 52, 40)
أي أن إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين هي (40 ,40) ,52
2A) نعم؛ تبعد الطائرتان عن بعضهما حوالي 2045 قدم ً ا،‏ وهذه المسافة
أقل من المسافة المسموح بها،‏ وهي نصف ميل تقريب ًا.(‏‎2640‎ قدم)‏
2) اات تفرض أنظمة السالمة أال َّ تقل المسافة بين الطائرات عن 0.5 mi في أثناء طيرانها،‏ إذا علمت أن
طائرتين تطيران فوق إحد المناطق،‏ وفي لحظةٍ‏ ٍ معينة كانت إحداثيات ِ موقعَي الطائرتين:‏
(28000 ,250- ,450) , (30000 ,300)، ,150 مع العلم بأن اإلحداثيات معطاة باألقدام،‏ فأجب عما يأتي:‏
تحقق من فهمك
A) هل تخالف الطائرتان أنظمة السالمة؟
B) إذا أطلقت ألعاب ٌ نارية ٌ ، وانفجرت في منتصف المسافة بين الطائرتين،‏ فما إحداثيات نقطة االنفجار؟
إرشاد ٌ:‏ الميل = 5280 قدم ً ا
الا ف الم ق الماف ‏‏ا
B(x 2 , y 2 , z 2
)
y
الماف بن قن ق م مقم ف الا
(375, -50, 29000)
0
50 ft
30 ft
2
الا الاات ا تمت
الم الما ا
بما اجا م الم الج
اإل الحاق الم
108 الوحدة 3 المتجهات
الإحداات ف الا ال
البا
الما 1 يُبي ّن كيفية تعيين نقطة في الفضاء
الثالثي األبعاد.‏
الما 2 يُبي ّن كيفية إيجاد المسافة بين
نقطتين وإحداثيات نقطة منتصف قطعة
مستقيمة في الفضاء.‏
القو الو
استعمل تدريبات ‏”تحقق من فهمك“‏ بعد
كل مثال؛ للتحقق من مد فهم الطالب
المفاهيم.‏
مال اإافا
عي ِّن كال ّ ً من النقطتين الآتيتين في
نظام اإلحداثيات الثالثي األبعاد.‏
.(1, 5, 3) (a
.(-1, -5, 2) (b
للفرعين a , b انظر الهامش
د ممار صم ّ م مهندس
معماري غرفة خشبيةً‏ على سطح
أحد المنازل،‏ واستعمل قطعة خشب
طويلة؛ لتثبيت السقف بحيث ينتهي
طرفاها بنقطتين إحداثياتهما هي:‏
20) (70, 80, , 10) (30, 40, ، وكانت
اإلحداثيات معطاة بالقدم،‏ فأجب
عم َّ ا يأتي:‏
a) أوجد طول قطعة الخشب.‏
57.45ft
b) يرغب صاحب المنزل في تثبيت
مصباح كهربائي في منتصف
قطعة الخشب،‏ أوجد إحداثيات
موقع المصباح.‏ 15) (50, 60,
1
2
z
(1b
اإجابات ‏)ما اإاف)
z
(1a
(-1, -5, 2)
2
3
(1, 5, 3)
-5
1
O
y
1
O
5
y
x
x
108 الوحدة 3 المتجهات