المعلم رياضيات الصف 12
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
3 الدر<br />
القو الو<br />
استعمل األسئلة 1-16 ؛ للتأكد من فهم<br />
الطالب.<br />
ثم استعمل الجدول أسفل هذه <strong>الصف</strong>حة؛<br />
لتعيين الواجبات المنزلية للطالب بحسب<br />
مستوياتهم.<br />
ت<br />
اا ا قد يقع الطالب<br />
في أخطاء بسيطة عند حساب قياس<br />
الزاوية بين متجهين في المسائل<br />
11–14؛ لذا اقترح عليهم رسم<br />
المتجهات في المستو اإلحداثي؛<br />
لتحديد ما إذا كانت زاوية المتجه<br />
حادةً أم منفرجةً ، ومقارنتها بالزاوية<br />
التي يحصلون عليها في الحل<br />
الجبري.<br />
ا الا في السؤال ، 33<br />
اقترح على الطالب الرجوع<br />
إلى خصائص الضرب الداخلي<br />
صفحة 101، وشج ِّ ع الطالب على<br />
اختبار متجهاتٍ ذات قيمٍ ٍ حقيقية لك ٍّل<br />
من ,u ,v w للتحقق من إجاباتهم.<br />
اإجاب<br />
21a) يمكن تمثيل متجهَ ي نصف القطر،<br />
والسرعة المماسية في المستو<br />
اإلحداثي بالشكل:<br />
أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين v، , u ثم تحقق مم َّ ا إذا كانا<br />
متعامدين أم لا. ام 1<br />
u = 〈3, -5〉, v = 〈6, 2〉<br />
( 2 3〉 〈1, = v 0 u = 〈9, -3〉, ؛ متعامدان<br />
u = 〈4, -4〉, v = 〈7, 5〉<br />
( 4 11j 0 u = 11i + 7j, v = -7i + ؛ متعامدان<br />
u = 〈-4, 6〉, v = 〈-5, -2〉<br />
الو يمث ِّل المتجه 〉 297 〈406, = u أعداد علبتين<br />
مختلفتين من زيت الزيتون في متجرٍ ، ويمث ِّل المتجه 〈15 ,27.5〉= v<br />
سعر العلبة من كال النوعين على الترتيب ام 1<br />
. u · v أوجد (a<br />
ثمن العلب جميعها هو 15620ريا ًلا<br />
b) فس ّ ر النتيجة التي حصلت عليها في الفرع a في سياق المسألة.<br />
استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول المتجه المعطى. ام 2<br />
أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u , v في كل ٍّ مما يأتي، وقر ّ ب الناتج<br />
إلى أقرب جزء ٍ من عشرة ٍ . ام 3<br />
14.0°<br />
100.0°<br />
u = 〈0, -5〉, v = 〈1, -4〉 ( 11<br />
u = 〈7, 10〉, v = 〈4, -4〉 ( <strong>12</strong><br />
164.7° u = 〈-2, 4〉, v = 〈2, -10〉 ( 13<br />
82.9° u = -2i + 3j, v = -4i - 2j ( 14<br />
م غادر يوسف ويحيى مخي َّمَ هما الكشفي للبحث<br />
عن حطب. إذا كان المتجه 〈5- ,3〉 = u يُمث ّل الطريق الذي سلكه<br />
يوسف، والمتجه 〈6 ,7-〉 = v يُمث ّل الطريق الذي سلكه يحيى،<br />
فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين. ام 3<br />
بقوة<br />
ٍ<br />
فا يدفع طارق برميالً على أرضٍ مستوية مسافة 1.5 m<br />
مقدارها 534 N ؛ بزاوية 25° كما في الشكل أدناه، أوجد مقدار<br />
عدد<br />
ٍ<br />
الشغل بالجول الذي يبذله طارق، وقر ّ ب الناتج إلى أقرب<br />
534 N<br />
صحيحٍ . ام 4<br />
أوجد متجه ً ا يعامد المتجه المعطى في كل ٍّ مما يأتي:<br />
( 17 -8〉 〈-2, إجابة ممكنة: 3〉 〈-<strong>12</strong>,<br />
( 18 5〉 〈3, إجابة ممكنة: -6〉 〈10,<br />
( 19 -4〉 〈7, إجابة ممكنة: 14〉 〈8,<br />
( 20 6〉 〈-1, إجابة ممكنة: 1〉 〈6,<br />
ل ارة يعامد متجه الموقع r في العجلة الدوارة متجه<br />
السرعة المماسية v عند أي ِّ نقطةٍ من نقاط الدائرة.<br />
<br />
r<br />
<br />
v<br />
a) إذا كان طول نصف قطر العجلة ، 20 ft وسرعتها ثابتة ومقدارها<br />
، 40 ft/s فاكتب الصورة اإلحداثية للمتجه ، r إذا كان يصنع<br />
زاويةً قياسها ˚35 مع األفقي، ثم اكتب الصورة اإلحداثية لمتجه<br />
جزء<br />
ٍ<br />
السرعة المماسية في هذه الحالة؟ قر ّ ب الناتج إلى أقرب<br />
من مئةٍ. انظر الهامش<br />
b) كيف يمكن إثبات تعامد المتجه ، r ومتجه السرعة باستعمال<br />
الصورتين اإلحداثيتين اللتين أوجدتهما في الفرع a؟ وأثبت أن<br />
المتجهين متعامدان.<br />
إذا علمت كلا ّ ً من ، v , u · v فأوجد قيمة ً ممكنة ً للمتجه u في ك ٍّل<br />
مما يأتي:<br />
u = 〈5, -3〉 إجابة ممكنة: v = 〈3, -6〉, u · v = 33 ( 22<br />
u = 〈-1, 7〉 إجابة ممكنة: v = 〈4, 6〉, u · v = 38 ( 23<br />
<br />
(<br />
(<br />
(<br />
(6<br />
8 1 ؛ غير متعامدين<br />
8 3 ؛ غير متعامدين<br />
8 5 ؛ غير متعامدين<br />
15620<br />
√ ÇÇ 130 ≈ 11.4 (7<br />
√ Ç 97 ≈ 9.8 r = 〈-9, -4〉 ( 8<br />
m = 〈-3, 11〉 (7<br />
t = 〈23, -16〉 (10<br />
v = 〈1, -18〉 (9<br />
√ ÇÇ 785 ≈ 28.0<br />
5 √ Ç 13 ≈ 18.0<br />
مدر يسحب طالب حقيبته<br />
المدرسية بقوة مقدارها 100، N إذا بذل<br />
الطالب شغالً مقداره ، 1747 J لسحب<br />
حقيبته مسافة 31، m فما قياس الزاوية<br />
بين قوة السحب واألفقي )بإهمال قوة<br />
االحتكاك(؟<br />
100 N<br />
21b) الضرب الداخلي؛<br />
r.v=(20 cos 35°)(40 cos 55°) + (20 sin 35°)(-40 sin55°) = 0<br />
بما أن r.v=0 إذن المتجهان متعامدان.<br />
θ<br />
55.7° تقريب ًا<br />
(21<br />
(24<br />
161.6°<br />
726 J<br />
(15<br />
(16<br />
104 الوحدة 3 المتجهات<br />
r<br />
35°<br />
v<br />
35–40 ،33 ،31–32 ،1–16<br />
1–37 فردي،32 40 ،<br />
18–40<br />
فتكون مركبة r األفقية 35° 20 cos<br />
وتكون مركبة r الرأسية 35° 20 sin<br />
إذن الزوج المرتب للمتجه r<br />
،〈 20 cos 35°,20 sin 35°〉<br />
أو 11.47〉 〈 16.38,<br />
أما بالنسبة للمتجه v فنضعه في الوضع<br />
القياسي كما هو مبين بالشكل:<br />
تو الواجات المل<br />
المو<br />
دون المتوسط<br />
ضمن المتوسط<br />
فوق المتوسط<br />
الل<br />
فتكون مركبة v األفقية 40 cos 55<br />
وتكون مركبة v الرأسية -40 sin 55<br />
إذن الزوج المرتب للمتجهة v<br />
،〈 40 cos 55,-40 sin 55〉<br />
أو -32.77〉 22.94, 〈<br />
<br />
<br />
35°<br />
r<br />
55<br />
v<br />
104 الوحدة 3 المتجهات
Change language