المعلم رياضيات الصف 12

y الرأس 4) (-2, والدليل = 1 (b
50 الوحدة 2 القطوع المخروطية
بما أن الدليل مستقيم أفقيًّا،‏ فإن المنحنى مفتوح رأسيًّا.‏ وبما أن الدليل يقع تحت الرأس،‏ فإن المنحنى مفتوح
إلى أعلى.‏
y
16
F(-2, 7)
8
4
V(-2, 4)
−8
−4
12
O
4
y
8
(2, 5)
4
F(2, 1) V(4, 1)
−4
y
O
O
-4
-8
4
x
استعمل معادلة الدليل لتجد . c
معادلة اللي
y = 1 , k = 4
اطر 4 م الطري
اس الطري ل -1
y = k - c
1 = 4 - c
-3 = - c
3 = c
عوّ‏ ض قيم h , k , c في الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ.‏
السو القياسية
h = -2 , k = 4 , c = 3
بس
( x - h ) 2 = 4c( y - k)
[ x - (-2) ] 2 = 4(3)( y - 4)
( x + 2 ) 2 = 12( y - 4)
طول الوتر البؤري يساوي = 12 3| × 4 | = c| |4 ، والتمثيل البياني كما في
الشكل المجاور.‏
(c البؤرة 1) (2 , والمنحنى مفتوح إلى اليسار ويمر بالنقطة 5) (2 , .
بما أن المنحنى مفتوح إلى اليسار،‏ لذا فالبؤرة هي (k h) + ,c = (1 ,2) ، والرأس (k ,h) هو
c. ‎2‎‏)؛ لذا استعمل الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ والنقطة (5 ,2) لتجد - ,c (1
8
x
x
السو القياسية
h = 2 - c , k = 1 , x = 2 , y = 5
بس
بس
الطري ل الربيع ال
(y - k ) 2 = 4 c (x - h)
(5 - 1 ) 2 = 4 c [2 - (2 - c)]
16 = 4 c ( c)
4 = c 2
±2 = c
بما أن المنحنى مفتوح إلى اليسار،‏ فإن قيمة c يجب أن تكون سالبة؛ لذا فإن
-2 = c ، والرأس هو 1) .(4,
( y - 1 ) 2 = -8( x - 4)
طول الوتر البؤري يساوي = 8 2)| (- × |4 = c| |4 ، والتمثيل البياني كما في
الشكل المجاور.‏
تحقق من فهمك
(4A البؤرة 2) (-6, والرأس -1) (-6,
x الرأس -2) (9, والدليل = 12 (4B
4C) البؤرة (4- ,3-) ، والمنحنى مفتوح إلى أسفل،‏ ويمر بالنقطة (10- ,5) .
4D) البؤرة (5 ,1-) ، والمنحنى مفتوح إلى اليمين،‏ ويمر بالنقطة (7- ,8) .
يمكن رسم مماس ٍ لمنحنى القطع المكافئ عند أي نقطة عليه،‏ وستدرس الحقً‏ ا
كيفية تحديد معادلة مماس المنحنى باستعمال التفاضل.‏ ويمكن إيجاد معادلة
المماس للقطع المكافئ دون استعمال التفاضل.‏
الدليل
االا اللي ق
المعا الا مح
القط الما
(4A
(x + 6 ) 2 = 12(y + 1)
y
(x + 6) 2 = 12(y + 1)
−12 −8 −4
4
O
−4
−8
(y + 2 ) 2 = -12(x - 9) (4B
−4
( y+ 2 ) 2 =-12(x- 9)
4
O
−4
−8
y
x
4 8 12x
(4C
(x + 3 ) 2 = -8 (y + 2)
−8
−8
−4
O
−4
−8
y
4
(x + 3) 2 = -8(y + 2)
(4D
12(x + 4) = (y - 5 ) 2
−4
y
12
4
O
−4
4 8 x
x
12(x
8
+ 4) = ( y - 5 )2
ما اإصاف
اكتب معادلة القطع المكافئ الذي
يحقق الخصائص المعطاة في كل
مما يأتي،‏ ثم مث ِّل منحناه بيانيًّا:‏
(a البؤرة 1) (2, ، والرأس 1) .(-5,
( y - 1) 2 = 28(x + 5)
−12
x = -12
y
16
8
V (−5, 1) F (2, 1)
−8
−4
O
−8
−16
4 x
.y = الرأس -2) ،(3, والدليل -1 (b
(x - 3) 2 = -4( y + 2)
O
y
F (3, -3)
x = 3
y = −1
x
V (3, -2)
c) البؤرة (7 ,1-), ومفتوح إلى
األعلى ويمر بالنقطة (7 ,3).
(x + 1) 2 = 8( y - 5)
F (-1, 7)
V (-1, 5)
x = −1
O
y
(3, 7)
y = 3
x
4
تنو التعلي
المتعلمو الحريو‏:‏ اطلب إلى كل طالب رمي كرة قوسيًّا إلى أعلى،‏ ومالحظتها عندما ترتطم بجدار عليه
عالمات ارتفاع مختلفة.‏ واطلب إليه قياس أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة.‏ وتحديد معادلة تعبّر عن مسارها معتبرً‏ ا
النقطة التي رميت منها الكرة هي رأس القطع المكافئ.‏ ثم قارن بين نتائج الطالب وناقشهم في كيفية الحصول على
معادالت مختلفة بناءً‏ على األشكال المختلفة للقطوع المكافئة.‏
50 الوحدة 2 القطوع المخروطية