المعلم رياضيات الصف 12

أوجد كلا ّ ً مما يأتي للمتجهات:〈‏ -2 , 0 , 5 〈 = z : y = 〈 3 , -6 , 2 〉, w = 〈 -1 , 4 , -4 〉 ,
ا متج
A(x 1 , y 1 , z 1
)
O
x
ا متجها
اجم المتجه
اجم المتجهات
4 y + 2 z (a
4 y + 2 z = 4〈​3 , -6 , 2 〉 + 2〈-2 , 0 , 5 〉
= 〈​12 , -24 , 8〉 + 〈-4 , 0 , 10 〉
= 〈​8 , -24 , 18 〉
2 w - z + 3 y (b
2w - z + 3y = 2〈​-1 , 4 , -4 〉 - 〈​-2 , 0 , 5 〉 + 3〈​3 , -6 , 2 〉
= 〈​-2 , 8 , -8 〉 + 〈​2 , 0 , -5 〉 + 〈​9 , -18 , 6 〉
= 〈​9 , -10 , -7 〉
تحقق من فهمك
أوجد كلا ّ ً مما يأتي للمتجهات:〈‏ -2 , 0 , 5 〈 = z : y = 〈 3 , -6 , 2 〉, w = 〈 -1 , 4 , -4 〉 ,
〈9, -42, 45〉 3 y + 3 z - 6 w (4B 〈12, 16, -56〉 4 w - 8 z (4A
z
B( x 2 , y 2 , z 2
)
وكما في المتجهات ذات البُعدين،‏ نجد الصورة اإلحداثية للمتجه​‏ÆÆÆ AB
الذي نقطة بدايته ) 1 A( x 1 , y 1 , z ونقطة نهايته ) 2 ، B( x 2 , y 2 , z وذلك
بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية.‏
AB ÆÆÆ​= 〈​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 〉
وعندها يكون:​‏ ) 2 1 |​ AB ​ ​ÆÆÆ​| = √​ ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ( x 2 - x 1 ) 2 + ​( y 2 - y 1 ) 2 + ​( z 2 - z ،
|​ AB ​ ​ÆÆÆ​| = √​ ÇÇÇÇÇ a 2 1 + a 2 2
2 + a 3 ​
وهذا يعني أنه إذا كان:‏ 〉 3 ، ​​ ​ ​ÆÆÆ​ AB = 〈​a 1 , a 2 , a فإن:‏
_
u = AB ÆÆÆ​
​ÆÆÆ​ ​​​ هو ​​ ​ |​
AB ​ÆÆÆ​|
، B ( 3 , 6 , -6 ) ونقطة نهايته ، A ( -4 , -2 , 1 ) الذي نقطة بدايته ÆÆÆ
. ÆÆÆ
ويكون متجه الوحدة u باتجاه ​ AB
أوجد الصورة الإحداثية،‏ وطول AB
ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه AB
ال الإا لمتج
( x 1 , y 1 , z 1 ) = (-4, -2, 1) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) = (3, 6, -6)
y
AB ÆÆÆ​= 〈​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 〉​​
=​〈3-(-4), 6-(-2), -6-1〉=〈7, 8, -7〉
وباستعمال الصورة اإلحداثية،‏ فإن طول​‏‎​ÆÆÆ ​​ AB ​ هو :
AB ÆÆÆ = 〈7, 8, -7〉
|​ AB ​ ​ÆÆÆ​|
= √​ ÇÇÇÇÇÇ 7 2 + 8 2 + ​(-7) 2 ​
= 9 √​Ç​ 2
ويستعمل هذا الطول والصورة اإلحداثية؛ إليجاد متجه وحدة u باتجاه ​​ ​ ​ÆÆÆ​ AB كما يأتي:‏
متج باجا ÆÆÆ AB
=
AB ÆÆÆ = 〈7, 8, -7〉 , | AB ÆÆÆ | = 9 √ Ç 2
u
_
= AB ÆÆÆ​
|​ ​ ​​
AB ​ÆÆÆ​|
_
〈​7 , 8 , -7 〉 ​=
9 √​Ç​ 2
_
_
7 √​Ç​ 2
18 , 4 √​Ç​ 2 ,
9
4
_
-7 √​Ç​ 2
18
تحقق من فهمك
الملات ل المهات ف الا
5
أوجد الصورة الإحداثية،‏ وطول AB ÆÆÆ الم ُ عطاة نقطتا بدايته ونهايته ، ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه AB ÆÆÆ في كل ٍّ مما يأتي:‏
A (-1 , 4 , 6) , B ( 3 , 3 , 8 ) (5B A (-2 , -5 , -5 ) , B( -1 , 4 , -2 ) (5A
الملات ل المهات
ل الملات ا
المتجهات الا
ها الا
المت الإا
ال ن المهات ف الا جا
〈1, 9, 3〉; √ Ç 91 ; (5A
___
√ Ç 91
91 , 9 √ Ç 91
91 , 3 √ Ç 91
91
〈4, -1, 2〉; √ Ç 21 ; (5B
___
4 √ 21 Ç
21 , -​√ Ç 21
21 , 2 √ Ç 21
21
110 الوحدة 3 المتجهات
ما اإاف
أوجد الصورة اإلحداثية،‏ وطول ​ ​ ÆÆÆ​​ AB
الذي نقطة بدايته -1) -2, A(3, ،
ونقطة نهايته (3- ,5 ,1)B، ثم أوجد
متجه الوحدة باتجاه ​ ​ ÆÆÆ​​ . AB
_
〈-2, 7, -2〉, √​Ç​ 57 ,
_
_
- 2 √​Ç​ 57 , 7 √​Ç​ 57 , - 2 √​Ç​ 57
57 57 57
للمل الدد
تت الإحداات في المثال 5، ذك ّر
الطالب بأن عكس ترتيب نقطَتَي البداية
والنهاية يُغي ِّر المتجه من ​ ​ AB
وهما متجهان لهما الطول نفسه،‏ ولكن في
اتجاهين متعاكسين.‏
، BA إلى ​ ​ ÆÆÆ​​ ÆÆÆ​​
5
تو الل
الملمو الو الماو اطلب إلى الطالب،‏ بناءً‏ نظام إحداثيات ثالثي األبعاد باستعمال أعوادٍ‏ من
الخشب،‏ ثم اطلب إليهم تدريج محاوره وتلوين الجزء السالب منها،‏ وفي الوقت الذي يرفع فيه أحد الطالب
النموذج،‏ اطلب إلى طالبٍ‏ آخرين تعيين نقاطٍ‏ وتحديد إحداثي َّاتها.‏
110 الوحدة 3 المتجهات