المعلم رياضيات الصف 12
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
محات<br />
الدال ال<br />
Dot Product<br />
3 الدرص<br />
-3<br />
y<br />
O<br />
B(b 1 , b 2<br />
)<br />
b<br />
a<br />
BA<br />
x<br />
A(a 1 , a 2<br />
)<br />
متج <br />
تحمل كلمة الشغل معانٍ متعددة في الحياة اليومية، إال أن لها معنى<br />
محددًا في الفيزياء، وهو مقدار القوة المؤثرة في جسم مضروبة في<br />
المسافة، التي يتحركها الجسم في اتجاه القوة. ومثال ذلك: الشغل<br />
المبذول لدفع سيارة مسافة محددة. ويمكن حساب هذا الشغل<br />
باستعمال عملية على المتجهات تسمى الضرب الداخلي.<br />
ال الدال تعلمت في الدرس 2- 3 عمليتي الجمع والضرب في<br />
عدد حقيقي على المتجهات. وفي هذا الدرس سوف تتعلم عملية ثالثة على<br />
المتجهات. إذا كان لديك المتجهان المتعامدان a , b في الوضع القياسي،<br />
ÆÆÆ المتجه الواصل بين نقطتي نهاية المتجهين كما في الشكل المجاور.<br />
ال ب<br />
الا <br />
جم الح المب<br />
|a| = √ ÇÇÇÇ a 1 2 + a 2 2 , |a| 2 = a 1 2 + a 2 2 ,<br />
|b| = √ ÇÇÇÇ b 1 2 + b 2 2 , |b| 2 = b 1 2 + b 2 2<br />
وكان BA<br />
فإنك تعلم من نظرية فيثاغورس أن |b| 2 | BA ÆÆÆ | 2 = |a| 2 + .<br />
وباستعمال مفهوم طول المتجه يمكنك إيجاد | 2 ÆÆÆ | BA .<br />
| BA ÆÆÆ | = √ÇÇÇÇÇÇÇÇÇ<br />
( a 1 - b 1 ) 2 + ( a 2 - b 2 ) 2<br />
| BA ÆÆÆ | 2 = ( a 1 - b 1 ) 2 + ( a 2 - b 2 ) 2<br />
| BA ÆÆÆ | 2 = a 2 1 - 2 a 1 b 1 + b 2 1 + a 2 2 - 2 a 2 b 2 + b 2 2<br />
| BA ÆÆÆ | 2 = ( a 2 1 + a 2 2 ) + ( b 2 1 + b 2 2 ) - 2( a 1 b 1 + a 2 b 2 )<br />
| BA ÆÆÆ | 2 = |a| 2 + |b| 2 - 2( a 1 b 1 + a 2 b 2 )<br />
الحظ أن العبارتين |b| 2 |a| 2 + |b| 2 - 2( a 1 b 1 + a 2 b 2 ) ، |a| 2 + متكافئتان، إذا وفقط إذا كان = 0 2 . a 1 b 1 + a 2 b<br />
وتُسم َّ ى العبارة a 1 b 1 + a 2 b 2 الض رب الداخلي للمتجهين ، a , b ويُرمز له بالرمز ، a · b ويُقرأ الضرب الداخلي<br />
للمتجهين ، a , b أو يُقرأ اختصارً ا . a dot b<br />
ال a = 〈 a 1 , a 2 〉 , b = 〈 b 1 , b 2 〉 للمتجه الال ال <br />
a · b = a 1 b 1 + a 2 b 2<br />
<br />
الحظ أنه خالفًا لعمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات، فإن حاصل الضرب الداخلي لمتجهين<br />
يكون عددًا وليس متجهً ا. ويتعامد متجهان غير صفريين، إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفرً ا. ويقال<br />
للمتجهين الل ّذين حاصل ضربهما الداخلي صفر: مت جهان متعامدان .<br />
a · b = 0 ا اإا اإا متام a , b ال المتجها <br />
على الرغم من أن حاصل الضرب الداخلي للمتجه <strong>الصف</strong>ري في أي متجه آخر يساوي <strong>الصف</strong>ر، أي أن :<br />
=0 2 〈a 1 , a 2 〉 = 0 a 1 + 0 a · 0〉 〈0, ، إال أن المتجه <strong>الصف</strong>ري ال يعامد أي متجه آخر؛ ألنه ليس له طول أو اتجاه.<br />
الجم ملت <br />
ل ال<br />
المتجهات ا اج<br />
■ اج ال الال<br />
لمتجه اتمل <br />
اإجا الا بهما<br />
ال الال<br />
dot product<br />
المتجها المتاما<br />
orthogonal vectors<br />
الا ب متجه<br />
angle between two vectors<br />
ال<br />
work<br />
<br />
ال القا<br />
الال ال م<br />
ب الا بال<br />
الا<br />
ال الدال لمهن ف المو الإحدا<br />
المامدا المها <br />
100 الوحدة 3 المتجهات<br />
الاب الا<br />
1 ال<br />
ما الدرص 3-3<br />
إيجاد مقادير المتجهات وإجراء<br />
العمليات عليها جبري ّ ًا.<br />
الدرص 3-3<br />
إيجاد الضرب الداخلي لمتجهَ ين،<br />
واستعماله في إيجاد الزاوية بينهما.<br />
ما بد الدرص 3-3<br />
استعمال المتجهات في الفضاء الثالثي<br />
األبعاد.<br />
2 الدرص<br />
ال الا<br />
اطلب إلى الطالب قراءة فقرة ”لماذا؟“.<br />
اا<br />
• انظر إلى الصورة، وبي ّن كيف يعرف<br />
األشخاص الذين يدفعون السيارة أنهم<br />
يبذلون شغالً ؟ إذا تحركت السيارة.<br />
• لماذا يُعد ُّ الشغل تحويالً للطاقة؟ عند<br />
بذل شغلٍ على جسمٍ ما، يحدث تحويل<br />
للطاقة على الجسم مما يسبب حركته.<br />
• إذا حاولت المجموعة نفسها دفع السيارة<br />
بقوة أكبر، وتحركت السيارة مسافة أكبر،<br />
فهل بذل األشخاص شغالً أكبر أم أصغر؟<br />
بذلوا شغالً أكبر.<br />
• هل وضع كتاب على ذراع شخص من<br />
دون حركة يُعط ِ ي شغالً ؟ ال ؛ ألن الكتاب<br />
لم يتحرك.<br />
100 الوحدة 3 المتجهات
Change language