المعلم رياضيات الصف 12

192 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق
ادتا مصتق تي الصرب القصمة تعلَّمت في هذا الدرس أن مشتقة مجموع دالَّتين تساوي مجموع مشتقَّتَي
الدالَّتين،‏ فهل تكون مشتقة ناتج ضرب دالتين مساويةً‏ لناتج ضرب مشتقتَي الدالتين؟ افترض أن:‏
. f (x) = x , g(x) = 3 x 3 ​
​
مصتقة الصرب
صرب المصتقات
d_ f(x) ·
d_
g(x) =
d_
(x) ·
d_
dx (3 x 3 )
dx dx dx
​ = 1 · 9 x 2 = 9 x 2
d_ [ f(x) · g(x)] =
d_
dx dx [x · 3 x 3 ]
= d_
dx (3 x 4 ) = 12 x 3
يتضح من هذا المثال أن مشتقة ناتج ضرب دالَّتين ال تساوي بالضرورة ناتج ضرب مشتقتَي الدالتين،‏ ويمكننا استعمال
القاعدة الآتية لإيجاد مشتقة ناتج ضرب دالَّتين.‏
d_
اإا ا مشتق م الالت f و g مج ن اإ x dx [ f (x) g(x)] = f ′(x) g(x) + f (x) g′(x)
أوجد مشتقة كل دالة ٍ مما يأتي:‏
48 التي الش مشتق ا شت
h(x) = ( x 3 - 2x + 7)(3 x 2 - 5) (a
افترض أن:‏ - 5 2 ، f (x) = x 3 - 2 x + 7 , g(x) = 3 x أي أن:‏ f(x)g(x) . h(x) =
م ال
ا مشتقات الق ومشاات الق والاب وال والق
م ال
ا مشتقات مشاات الق والاب والق
الش مشتق ا
التي شا
بش
f (x) =​​x 3 - 2x + 7
f ′(x) = 3 x 2 - 2
g(x) =​3 x 2 - 5
g′(x) = 6 x
استعمل g′(x) f (x), f ′(x), g(x), لإيجاد مشتقة h(x) .
h′(x) = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x)
= (3 x 2 - 2)(3 x 2 - 5) + ( x 3 - 2x + 7)(6x)
= 9 x 4 - 15 x 2 - 6 x 2 + 10 + 6 x 4 - 12 x 2 + 42x
= 15 x 4 - 33 x 2 + 42x + 10
h(x) = ( x 3 - 4 x 2 + 48x - 64)(6 x 2 - x - 2) (b
افترض أن:‏ - 2 x . f (x) = x 3 -​4 x 2 + 48x - 64 , g(x) = 6 x 2 -
م ال
ا مشتقات الق ومشاات الق والاب وال والق
م ال
ا مشتقات ومشاات الق والق والاب والق
الش مشتق ا h′(x) = f ′(x) g(x) + f(x) g′(x)
f (x) =​x 3 -​4 x 2 + 48x - 64
f ′(x) = 3 x 2 - 8x + 48
g(x) =​6 x 2 - x​- 2
g′(x) = 12x - 1
استعمل g′(x) f (x), f ′(x), g(x), لإيجاد مشتقة h(x) .
= (3 x 2 - 8x + 48)(6 x 2 - x - 2) + ( x 3 -​4 x 2 + 48x - 64)(12x - 1)
تحقق من فهمك
أوجد مشتقة كل دالة ٍ مما يأتي:‏
ادة مصتقة الصرب
ادة مصتقة الصرب
6
h(x) = ( x 2 + x 3 + x)(8 x 2 + 3) (6B h(x) = ( x 5 + 13 x 2 )(7 x 3 - 5 x 2 + 18) (6A
ادتا مصتقتي الصرب القصمة
المثال 6 يُبيّن كيفية استعمال قاعدة مشتقة
الضرب؛ في إيجاد مشتقة حاصل ضرب
دالتين.‏
مثال اإصافي
أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:‏
ادة مصتقة الصرب
ي ش ا مشتق
الش مه ا م
التاي
(6A-B انظر الهامش
a) h(x) =
( x 2 - 2x + 3) · ( x 3 - 4)
h′(x) = 5 x 4 - 8 x 3 + 9 x 2 - 8x + 8
b) h(x) =
( x 4 - x 2 + 2) · ( x 3 - x + 1)
h′(x) = (4 x 3 - 2x)( x 3 - x + 1) +
( x 4 - x 2 + 2)(3 x 2 - 1)
المحتو الرياصي
ادة مصتقة الصرب الحظ أن قاعدة
مشتقة مضاعفات القوى هي حالة خاصة
من قاعدة مشتقة الضرب،‏ حيث يُعَ‏ ُّد
الثابت عامالً‏ ، كما أنه بإمكاننا تعميم قاعدة
مشتقة الضرب ألكثر من دالتين.‏ فمثالً‏ :
d_ [ f (x) g (x) h (x)] = f ′(x) g(x)
dx
h(x) + f (x) g ′(x) h (x) + f (x) g (x) h ′(x).
للمعل الجديد
رم المصتقة رمز المشتقة
‏"التغي ُّر في y مقسومًا على التغيّر في x"
والحرف d هو اختصار للحرف اليوناني دلتا
(delta) ، والذي يُستعمل للتعبير عن فرق
القيم،‏ أو التغيّر في القيم.‏
_ dy يُعبّر عن
dx
6
اإجابات ‏)تحقق من فهمك(‏
h′(x) = (5 x 4 + 26x)(7 x 3 - 5 x 2 + 18) + ( x 5 + 1 3x 2 )(2 1x 2 - 10x) (6A
h′(x) = (2x + 3x 2 + 1) (8x 2 + 3) + ( x 2 + x 3 + x)(16x) (6B
192 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق