المعلم رياضيات الصف 12

80 ft
y
58 ft
86.4 ft
60 ft
208 ft
13.1 ft
y
28 ft
(1 + cos θ)(1 - cos θ) = 1 - cos 2 θ
1
sin 2 θ = 1 - cos 2 θ
O
-π π
-1
y
θ
g
θ
θ
g
cos 2 θ + sin 2 θ = 1
cos 2 θ - sin 2 θ = cos 2θ; 2 cos θ sin θ = sin 2θ
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
sin
2 52
نظ ّم تعليمك بناء ً على:‏ التركيز على المحور،‏
وعملية التدريس نفسها،‏ ومساعدة طلابك من خلال
التدريب،‏ والتقويم لما تعلموه.‏
يوضح الترابط الرأسي في بداية كل درس الأهداف
التي تؤدي إلى محتو الدرس الحالي والأهداف
التي تتبعه،‏ والذي يأتي في إطار وثيقة المد والتتابع
من الصف الأول إلى الصف الثاني عشر.‏
حد ّ د خصائص القطع المكافئ المعطاة معادلته في كل مما يأتي،‏ ثم مث ِّل
منحناه بياني ّ ًا:‏ 1-6) 1 انظر ملحق الإجابات.‏
(x + 1 ) 2 = -12( y - 6) ( 2 (x - 3 ) 2 = 12( y - 7) ( 1
-40(x + 4) = ( y - 9 ) 2 ( 4 ( y - 4 ) 2 = 20(x + 2) ( 3
-4( y +2) = (x + 8 ) 2 ( 6 ( y + 5 ) 2 = 24(x - 1) ( 5
(7
مكافئ معادلته 2) − y ، x 2 = 8( حيث x, y بالأقدام.‏ احسب
4 ft
(8
صم َّ م بدر لوح تزل ُّج مقطعه العرضي على شكل قطع
المسافة بين بؤرة القطع المكافئ ودليله؟ 2
ي ُبحر قارب في الماء تارك ًا وراءه أثر ً ا على شكل
قطع مكافئ يلتقي رأسه مع نهاية القارب.‏ ويمسك متزحلق
يقف على لوح خشبي عند بؤرة القطع بحبل مثبت في
القارب.‏ ويمكن تمثيل القطع المكافئ الناتج عن أثر القارب
بالمعادلة = 0 565 + 10y ، y 2 - 180x + حيث
3 بالأقدام.‏ x, y
a) اكتب معادلة القطع المكافئ على الصورة القياسية.‏
b) ما طول الحبل الذي يمسك به المتزحلق؟
اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القياسية للقطع المكافئ،‏ ثم حد ِّ د
14–9) انظر ملحق الإجابات.‏
خصائصه ومث ِّل منحناه بياني ّ ًا:‏ 3
y 2 + 33 = -8x - 23 ( 10 x 2 - 17 = 8y + 39 ( 9
60x - 80 = 3 y 2 + 100 ( 12 3 x 2 + 72 = -72y ( 11
-72 = 2 y 2 - 16y - 20x ( 14 -33 = x 2 - 12y - 6x ( 13
15-22) انظر الهامش.‏
4
(15 البؤرة -7) (-9, والرأس -4) (-9,
(16
(17 البؤرة -1) (2, والرأس -1) (-4,
(18
(19 البؤرة -2) (-3, ، والرأس -2) (1,
(20
. (-12, -14), (0, -2), (6, -5)
اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:‏
البؤرة (3 ,3) والمنحنى مفتوح إلى أعلى،‏ ويمر بالنقطة (18 ,23) .
البؤرة (4 ,11) والمنحنى مفتوح إلى اليمين،‏ ويمر بالنقطة (16 ,20) .
المنحنى مفتوح رأسي ّ ًا ويمر بالنقاط
(21 البؤرة 4) (-3, ، والرأس 2) (-3,
(22
الرأس (2 ,3-)، محور التماثل = 2 y، طول الوتر البؤري 8 وحدات.‏
أ ُنشئت قنطرة على شكل قطع مكافئ فوق بوابة سور،‏ بحيث
ارتكزت فوق عمودين.‏ وثب ّت مصباح عند بؤرة القطع.‏ 4
(x - 29) 2 = -52.4(y - 28)
a) اكتب معادلة القطع المكافئ.‏ افترض أن مستو الأرض هو
المحور ، x والعمود الأيسر ينطبق على المحور . y
b) مث ِّل منحنى القطع المكافئ بياني ّ ًا.‏ انظر الهامش.‏
اكتب معادلة مماس منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي عند النقطة المعطاة:‏
5
y = -8x - 45 (x + 7 ) 2 = - 1_
1_ 4_
( y - 3) ; (-5, -5) ( 24
2
y = y 2 = 1_ (x - 4) ; (24 , 2)
20 x + (25
5 5
y = 4x + 14 (x + 6 ) 2 = 3 ( y - 2) ; (0 , 14) ( 26
x = 0 -4x = ( y + 5 ) 2 ; (0, -5) ( 27
حد ّ د اتجاه فتحة منحنى القطع المكافئ في كل حالة مما يأتي:‏
الدليل = 4 y و َ -2 = c
المعادلة هي 6) - -8(x y 2 =
الرأس 1) (-5, والبؤرة 3) (-5,
( البؤرة 10) (7, والدليل = 1 x
(32
يأخذ القوس أسفل الجسر شكل قطع مكافئ.‏ وتبلغ
المسافة بين البرجين الواقعين على طرفي القوس ، 208 ft وارتفاع
كل منهما 80. ft وتبلغ المسافة من قمة القوس إلى سطح الماء 60
a) اكتب معادلة تمث ّل شكل القوس مفترض ً ا أن مسار الطريق على
الجسر يمث ِّل المحور ، x والمحور المار بقمة القوس والعمودي
على المحور x هو المحور y.
إجابة ممكنة:‏ 20) + -180.27(y x 2 =
b) توجد دعامتان رأسيتان للقوس تبعدان المسافة نفسها عن رأس
القوس كما هو موض ّ ح في الشكل.‏ أوجد طول كل منهما إذا
كانت المسافة بينهما 30.35 m . 86.4 ft تقريب ًا
.ft
(23
28 مفتوح إلى أسفل
29 مفتوح إلى اليسار
30 مفتوح إلى أعلى
31 مفتوح إلى اليمين
(
(
(
(y + 5 ) 2 = 180(x - 3)
45 ft
3
استعمل الأسئلة 27–1 للتحقق من استيعاب
الطلاب،‏ ثم استعمل الجدول أسفل هذه
الصفحة؛ لتعيين الواجبات المنزلية للطلاب
بحسب مستوياتهم.‏
عند إكمال المربع
لتحويل المعادلات إلى الصورة
القياسية في الأسئلة 14–9 ، على
الطلاب أن يجمعوا العدد نفسه
إلى طرفي المعادلة؛ حتى لا تتغير
قيمتها.‏ إذا كان هناك معامل ثابت
لحدود ، x فإن هذا المعامل يجب
أن ي ُضرب في العدد الناتج من
إكمال المربع قبل جمعه إلى العدد
أو طرحه منه خارج حدود x.
(x + 9) 2 = -12( y + 4) (15
( x - 3) 2 = 20(y + 2) (16
( y + 1) 2 = 24(x + 4) (17
( y - 4) 2 = 12(x - 8) (18
( y + 2) 2 = -16(x - 1) (19
x 2 = -12(y + 2) (20
( x + 3) 2 = 8(y - 2) (21
(22 3) + 8(x ( y - 2) 2 = أو
y
( y - 2) 2 = -8(x + 3) (23b
40
20
O 20
40 60x
1 -2
1
1-2
15
1 - 2
Verifying Trigonometric Identities
عندما ركض عبدالله في مسار دائري نصف قطره R، لاحظ أن جسمه لا يكون
عمودي ّ ًا على الأرض،‏ بل يميل عن الخط العمودي بزاوية حاد ّة غير سالبة هي θ
،tan θ = _ v 2 حيث g تسارع
gR
ت ُسمى زاوية الميل،‏ ويمكن وصفها بالمعادلة:‏
الجاذبية الأرضية،‏ وv سرعة العداء.‏
كما توجد معادلات أخر يمكن أن تصف زاوية الميل بدلالة دوال مثلثية
أخر‏،‏ كالمعادلة:‏ ، sin θ = _ v 2 cos θ حيث 90° ≤ θ ≤ 0 .
gR
هل تختلف هاتان المعادلتان كلي ّ ًا عن بعضهما بعض ً ا،‏ أم أنهما صيغتان للعلاقة
نفسها؟
يمكن استعمال المتطابقات المثلثية الأساسية بالإضافة إلى تعريف الدوال المثلثية
لإثبات صح ّ ة المتطابقات.‏ وجدير بالذكر أن إثبات صحة المتطابقة المثلثية،‏ يعني إثبات صحتها لقيم θ جميعها.‏
1
_ sin 2 θ
أثبت صحة المتطابقة + cos θ 1 =
1 - cos θ
1 + cos θ
sin 2 θ
_ sin 2 θ
1 - cos θ
=
_ sin 2 θ
1 - cos θ · 1 _ + cos θ
1 + cos θ
= __
sin 2 θ (1 + cos θ)
1 - cos 2 θ
= __
sin 2 θ (1 + cos θ)
sin 2 θ
= 1 + cos θ ✔
الطرف الأيمن =
انظر الهامش.‏
استعمال المتطابقات لإيجاد قيم
العبارات المثلثية وتبسيطها.‏
1-2
إثبات صحة المتطابقات المثلثية بتحويل
طرف من المعادلة إلى الشكل الموجود
في الطرف الآخر.‏
إثبات صحة المتطابقات المثلثية من
خلال تحويل كلا طرفي المعادلة إلى
العبارة نفسها.‏
1-2
استعمال متطابقات النسب المثلثية
لمجموع زاويتين والفرق بينهما لإثبات
صحة متطابقات مثلثية أخر أو
تبسيطها.‏
2
اطلب إلى الطلاب قراءة فقرة ‏”لماذا؟“.‏
• أي ّ المتغيرات يظهر في بسط الطرف
الأيمن من معادلة زاوية الميلان؟ وأيها
يظهر في المقام؟ v في البسط،‏ g , R في
المقام
• كيف تستطيع التعبير عن tan θ بدلالة
_ v 2
gR
tan θ = _ sin θ cos؟ θ و sin θ
cos θ ؟ gR_ أو _ v2
_ sin θ يساوي
• هل v2 gR cos θ
. cot 2 θ - cos 2 θ = cot 2 θ cos 2 θ (1
(1)
40–42 ، 36 ، 1–27
1–33 ‏(فردي)‏ ، 35 38–42 ، 36 ،
28–42
2 52
يحتوي كل درس على أسئلة البناء لتستعملها في
مساعدة الطلاب على استقصاء الأفكار الرئيسة
للدرس وفهمها.‏
دون المتوسط
ضمن المتوسط
فوق المتوسط
cot 2 θ - cos 2 θ = (1
_ cos 2 θ
sin 2 θ - cos2 θ =
cos 2 θ ( 1_
sin 2 θ - 1) =
cos 2 θ(csc 2 θ - 1)
cot 2 θ cos 2 θ
15 1 - 2
يعد ُّ كل مثال إضافي انعكاس ً ا لمثال ٍ في كتاب الطالب.‏
بما أن معظم الصفوف تشمل طلاب ًا ذوي قدرات مختلفة،‏
فإن بدائل تنويع الواجبات المنزلية يسمح لك بتعديل أسئلة
الواجب المنزلي.‏
توفر نشاطات التقويم التكويني طرائق بديلة لتحديد
استيعاب الطلاب في نهاية كل درس؛ مثل:‏
يربط الطلاب ما تعلموه في الدرس
الحالي بما تعلموه سابق ً ا.‏
يخم ّ ن الطلاب كيفية ارتباط الدرس
الحالي بالدرس التالي.‏
يذكر الطلاب الرياضيات
المستعملة في المسألة.‏
يجب على الطلاب أن ي ُجيبوا
عن السؤال المطلوب،‏ ويسل ّموا الإجابة للمعلم قبل
مغادرة الصف.‏
•
•
•
•
1 30
1 30
3
29 1 - 4
دون استعمال الآلة الحاسبة،‏ أوجد القيمة الدقيقة لكل ٍّ من
1-3 إذا كان:‏ ، θ_
sin 2θ , cos 2θ , sin , cos θ_
2 2
sin θ = 1_ ; 0° < θ < 90° (1
4
sin θ = 4_ ; 90° < θ < 180° (2
5
cos θ = 3_ ; 270° < θ < 360° (3
5
tan θ = - 8_ ; 90° < θ < 180° (4
15
sin θ = 2_ ; 90° < θ < 180° (5
3
sin θ = - _ 15
17 ; π < θ < 3π_ (6
2
tan θ = -2 ; π_
2 < θ < π (7
_ √ 2 - √ 2 sin π_ (8
8
2
_ √ 2 + √ 3
cos 15° (9
2
_ √ 2 + √ 3 sin 75° (10
2
- √ 7 - 4 √ 3 tan 165° (11
أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي:‏
ركل لاعب كرة قدم
كرة بزاوية قياسها 37° مع سطح
الأرض،‏ وبسرعة ابتدائية متجهة
مقدارها 52. ft/s إذا كانت
المسافة الأفقية d التي تقطعها
الكرة ت ُعطى بالصيغة
الجاذبية الأرضية ويساوي ، 32 ft/s 2 و َ v ت ُمث ّل السرعة الابتدائية
a) بس ّ ط الصيغة مستعملا ً المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية.‏
b) ما المسافة الأفقية d التي تقطعها الكرة باستعمال الصيغة
المبس ّ طة؟
أثبت صحة كل ٍّ من المتطابقات الآتية:‏ 5
14-15) انظر الهامش.‏
ترتبط زاوية رأس المخروط الذي تشك ِّ له الأمواج
الصوتية الناتجة عن اختراق الطائرة لحاجز الصوت بعدد ماخ M
. sin θ_
2 = 1_
M
‏(نسبة إلى عالم الفيزياء النمساوي ماخ)‏ وفق العلاقة
a) عب ِّر عن قيمة العدد M بدلالة دالة جيب التمام.‏
a فاستعمل العبارة التي أوجدتها في ، cos θ = _ 17
18
6
√ _ 1 - cos θ 1_ =
2 M (a
(18
b) إذا كان
لحساب قيمة عدد ماخ.‏
يمر تيار متردد في دائرة كهربائية.‏ إذا كانت شدة التيار
الكهربائي I بالأمبير عند الزمن t ثانية هي ، I 0 sin tθ فإن القدرة P
المرتبطة بالمقاومة R ت ُعطى بالصيغة:‏ . P = I 2 0 R 1_ sin 2 tθ 1_ عب ّر عن
القدرة بدلالة P = . cos 2tθ
2 I 0 2 R -
2 I 0 2 R cos 2tθ
1-7) انظر الهامش.‏
16-17) انظر ملح ق الإجابات.‏
ركل حسن كرة قدم عدة مرات بسرعة متجهة ابتدائية
مقدارها . 95 ft/s برهن أن المسافة الأفقية التي قطعتها الكرة
استعمل الصيغة المعطاة في التمرين . 13
ستستكشف في هذه المسألة كيفية إيجاد
متطابقة مثلثية اعتماد ًا على التمثيل البياني للدوال المثلثية.‏
انظر ملحق الإجابات.‏
a) استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة
b) اعتمد على التمثيل البياني في (a) لتخمين دالة بدلالة
الجيب تطابق f(θ) . ثم أثبت صحتها جبري ّ ًا.‏
c) استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة
انظر ملحق الإجابات.‏
d) اعتمد على التمثيل البياني في (c) لتخمين دالة بدلالة
جيب التمام تطابق g(θ) . ثم أثبت صحتها جبري ّ ًا.‏
(19
(20
دون المتوسط
ضمن المتوسط
فوق المتوسط
_ الموجودة في فقرة " لماذا؟ " بداية الدرس.‏ وأوجد . _H D
a_ c_ a_ d_
b ÷ d = b · c
_ sin θ
cos θ = tan θ
د مستو سطح البحر ‏(بالسنتمتر لكل ثانية تربيع)‏ تقريب ًا بالصيغة:‏
g = 978 + 5.17 sin 2 L - 0.007 sin 2 L
980.578
= 978 + 5.17 g ، حيث L تمثل زاوية دائرة العرض
المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية.‏
ي أوجدتها في الفرع 4A، واحسب قيمة g عندما 45° = L.
ت المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما في إثبات صحة المتطابقات.‏ كما
ة لضعف الزاوية ونصفها في إثبات صحة المتطابقات أيض ً ا.‏
cot θ = cos _ θ
sin θ
sin θ
cos __
θ + sin θ
cos θ + sin θ = 1
.
انظر الهامش.‏
استعمل الأسئلة من 17–1 للتأكد من فهم
الطلاب.‏
ثم استعمل الجدول أسفل هذه الصفحة؛
لتعيين الواجبات المنزلية للطلاب بحسب
مستوياتهم.‏
يستعمل الطلاب في
السؤال 26 التمثيل البياني لإيجاد متطابقات
مثلثية وذلك باستعمال الحاسبة البيانية.‏
انظر ملحق الإجابات
يحاول سعيد وسلمان حساب القيمة الدقيقة ل ِ
. sin 15° هل إجابة أي ٌّ منهما صحيحة ؟ بر ِّ ر إجابتك.‏
:
. cos θ = _ √ 3 ; 0 < θ < إذا كان‎90°‎ tan
θ_
( 27
A ( 33
2 2
_ √ 3
C √ 7 - 4 √ 3 A
3
√ 3 D √ 3 - 2 B
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
sin (45 – 30) = sin 45 cos 30 – cos 45 sin 30
B ( 34
= _ √ 2
2 · _ √ 3
2
– _ √ 2
2 · 1_ 2
= _ √ 44
sin A_ 2 = √ _ 1 – cos A
2
sin 30_ √
2 = 1 – _
1_ 2
y = 3 cos 1_ θ C y = 3 cos 2θ A
2
2
= 0.5
y = 1_ cos
1_
3 2 θ D y = 1_
3 cos 2θ B
استعمل دائرة الوحدة أدناه،‏ والشكل المرسوم داخلها.‏
لتبرهن أن:‏ انظر الهامش
B
O
A
D
. tan 1_
2 θ = _ sin θ
1 + cos θ
اكتب فقرة مختصرة تبين الشروط اللازم توافرها؛ كي
تستعمل كلا ّ ً من المتطابقات الثلاث ل . cos 2θ
انظر ملحق الإجابات.‏
، sin 2θ
استعمل الصيغة (B sin A) + لاشتقاق صيغة ل ِ
واستعمل الصيغة B) cos (A + لاشتقاق صيغة ل . cos 2θ
اشتق ّ المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية من المتطابقات
المثلثية لضعف الزاوية.‏ انظر ملحق الإجابات
ضرب لاعب جولف كرة عدة مرات بسرعة
ابتدائية مقدارها 115، ft/s ولنفترض أن المسافة d التي قطعتها
__ = d . فس ِّ ر لماذا
2 v 2 sin θ cos θ
P
الكرة في كل مرة ت ُعطى بالصيغة
انظر ملحق الإجابات
أوجد القيمة الدقيقة ل ِ
معادلة الدالة الممث َّلة بياني ّ ًا في الشكل أدناه هي :
تكون المسافة العظمى عندما 45° = θ ( g = 32 ft/s 2 ) .
انظر الهامش
للتوضيح انظر مل حق
الإجابات
(28
(29
(30
(31
(32
يتعين على
الطلاب في السؤال 27 أن يعرفوا أن
سعيد ً ا أخطأ عندما عوض عن
√ 4 _ ، كما أن
√ 6 _ ب 4
4 - _ √ 2
4
سلمان أخطأ أيض ً ا عندما عوض عن
بدلا ً من
1_
√ 3 _ ؛ لذا
2
28) الزاوية ∠PBD هي زاوية محيطية
تقابل القوس نفسه الذي تقابله الزاوية
المركزية ∠POD ؛ لذا فإن
، m ∠PBD = 1_
2 m ∠POD
وباستعمال المثلث القائم،‏ تجد أن
tan 1_
2 θ = PA_
BA = __ PA
1+ OA
sinθ
= __
1 + cosθ
d = ___
2v2 sin θ cos θ
g
= __ v2 sin2 θ
g
__ v 2 sin2 θ
وتكون أكبر قيمة للمقدار g
عندما = 1 θ sin 2 ويتحقق هذا
عندما 90° = θ 2
وبالتالي فإن 45° = θ
2
cos 30° ب
بي ّن للطلاب أن الخطوتين
،sin 15° = sin (45° - 30°)
_ 30° sin ،sin 15° = صحيحتان.‏
2
ولكن خطوة سعيد الرابعة يجب أن
√ 6 - √ 2 __ ، وخطوات
4
تكون
سلمان بعد السطر الأول يجب أن
√
sin _ 30°
2 = 1 - _ √ 3
__ 2
2
√ __ 2 - √ 3
4
= __ √ 2 - √ 3
2
تكون
=
4
اطلب إلى الطلاب
توضيح كيفية تحديد إن كانت المسألة
تتضمن استعمال المتطابقة المثلثية لضعف
الزاوية أو المتطابقة المثلثية لنصف الزاوية.‏
(32
متساوية لكل من الزاويتين . θ = 45° + A , θ = 45° - A
أوجد القيم الدقيقة لكل ٍّ من ، sin 2θ , cos 2θ , tan 2θ إذا كان:‏
_ √ 15
_ 24 7_ 24_
8 , 7_
8 , __
√ 8 - 2 √ 15
,__
√ 8 + 2 √ 15 (1
4
4
25 , 25 , 7 cos θ = 4_ ; 0° < θ < 90° ( 21
5 √ 7 + 4 √ 3 tan 5π_ (12
12
_-24
_ 4 √ 2 7_ _ sin θ = 1_
3 ; 0 < θ < π_
9 , 9 , 4 √ 2
(22
25 , _-7
25 ,_
2 √ 5 , _ √ 5 (2
5 5
3_ 4_ 3_ 7
2
(13
- tan θ = -3 ; 90° < θ < 180°
5 , - 5 , (23
_-24
4
_-3 √ 7 1_
25 , _-7
25 , _ √ 5
5 , __ -2 √ 5 (3
5
, sec θ = - 4_ ; 90° < θ < 180°
8 8 , -3 √ 7
3 ( 24
_-240
_ 5_ 12 _ cot θ = 3_ ; 180° < θ < 270°
2
__ 2 = d . حيث g تسارع
v 2 sin θ cos θ
13 , 13 , 12
(25
289 ,_
161
289 ,_
4 √ 17 , _ √ 17 (4
17 17
5
(26
_-4 √ 5
, 1_
9 9 , ___
√ 6 √ 3 + √ 5
, (5
6
d = _ v 2 sin 2θ
المتجهة . 4
g
f (θ) = 4 (sin θ cos π_ - cos θ sin بياني ّ ًا في الفترة
π_
___
√ 6 √ 3 - √ 5
4 4 )
6
. -2π ≤ θ ≤ 2π
81 ft تقريب ًا
_ 240
289 , -_
161
289 ,_
5 √ 34 , - _ 3 √ 34 (6
34 34
1 - cos 2θ
tan θ = _ (14
_-4
sin 2θ
5 ,_-3
5 √ , _ √ 5 + 1 , (7
π_ g(θ) = co s 2 (θ - بياني ّ ًا في الفترة
3 ) - si n 2 (θ -
2 √ 5
π_
3 )
tan θ_
2 = _ sin θ (15
. -2π ≤ θ ≤ 2π
1 + cos θ
2
tan 2θ = __ (16
√ _ √ 5 - 1
cot θ - tan θ
2 √ 5
sin θ_ cos
θ_
2 2 = _ sin θ (17
2
tan θ __ 1 - cos 2θ
(14
sin2θ
29 1 - 4
___
1 - (1 - 2 sin2 θ)
2 sin θ cos θ
__ 2 sin 2 θ
2 sin θ cos θ
_ sin θ
cos θ
29-34 ،27 ،25 ،22 ،20 ،1-17
= tan θ ̌
1–17 ‏(فردي)،‏ 18-26 ‏(زوجي)،‏ 29-34 ،27
(15
18-34
tan θ_
2 __ sin θ
1 + cos θ
tan θ_ sin 2( θ_
tan θ_ 2sin θ_ cos
θ_
2 ___ 2 )
2 __ 2 2
2 cos 2 θ_
2
1 + cos 2 ( θ_
2 )
tan θ_ sin
tan θ_ 2sin θ_
2 _
θ_
2
cos
cos
θ_
θ_
2
2 ___ 2 2
1+2 cos 2 θ_
2 -1 tan θ_ tan
θ_
2 2 ̌
_ cos 2θ c_ 1 + sin 2θ = c
co_
co
co_
=
sin_
co_
= cos_ cos
= cos_ cos
= _ co
= co_ 1 +
=
c_
1 +
يسر =
.4 cos 2 x
T14