المعلم رياضيات الصف 12
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ومن قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة نعلم أن:<br />
2π_ ، cos ( إذن:<br />
3<br />
) =cos ( 4π_<br />
3 ) =- 1_<br />
2<br />
2π_ = 3πt<br />
3 + 2πk<br />
2_ t<br />
9 + 2_<br />
3 k<br />
أو<br />
4π_<br />
3 + 2πk = 3πt<br />
4_<br />
9 + 2_<br />
3 k = t<br />
ال او او م ا حي د ا k<br />
=<br />
ا الطي ل 3π<br />
. 2_<br />
9 + 2_<br />
3<br />
_2 دقيقة.<br />
إن أقل قيمة ل t نحصل عليها عندما تكون = 0 k في المساواة k = t<br />
_2 = t وهذا يعني أن ارتفاع مقعدك يكون 31 مترً ا للمرة األولى بعد 9<br />
م م حق<br />
20 ثانية تقريب ًا<br />
3) كم من الوقت تحتاج من بداية دوران العجلة ، ليكون ارتفاع مقعدك 41 مترً ا فوق سطح األرض للمرة األولى؟<br />
لذلك، 9<br />
الحلو الدخيلة بعض المعادالت المثلثية ليس لها حل. فعلى سبيل المثال، المعادلة = 4 θ cos ليس لها حل؛<br />
ألن قيم cos θ جميعها تقع في الفترة ] 1 ,1-] . كما أن بعض المعادالت المثلثية تعطي حلوالً ال تحقق المعادلة<br />
األصلية، وتسمى مثل هذه الحلول حلوالً دخيلة.<br />
إذا لم تتمكّ ن من حل معادلة بالتحليل إلى العوامل، فحاول إعادة كتابة العبارات التي تتضمنها باستعمال المتطابقات<br />
المثلثية. وقد يقودنا استعمال المتطابقات وبعض العمليات الجبرية، كالتربيع مثالً إلى حلول دخيلة. لذا ، من<br />
الضروري التحقق من حلولك باستعمال المعادالت األصلية.<br />
ح ُ ل ّ المعادلة: sin θ = 1 + cos θ إذا كان 360° < θ ≤ 0°<br />
sin θ = 1 + cos θ<br />
sin 2 θ = (1 + cos θ ) 2<br />
المعادلة االلية<br />
ب<br />
sin 2 θ = 1 - cos 2 θ<br />
1 - cos 2 θ = 1 + 2 cos θ + cos 2 θ<br />
0 = 2 cos θ + 2 cos 2 θ<br />
0 = 2 cos θ (1 + cos θ)<br />
بط 1 م الطي واإاة cos 2 θ ل الطي<br />
ل<br />
1 + cos θ = 0<br />
أو<br />
2 cos θ = 0<br />
cos θ = -1<br />
أو<br />
cos θ = 0<br />
θ = 180°<br />
التحق<br />
أو<br />
θ = 90° , 270°<br />
sin θ = 1 + cos θ<br />
sin 180° 1 + cos 180°<br />
ال ال اية<br />
sin θ = 1 + cos θ<br />
sin 90° 1 + cos 90°<br />
1 1 + 0<br />
1 = 1 ✓<br />
sin θ = 1 + cos θ<br />
sin 270° 1 + cos 270°<br />
-1 1 + 0<br />
-1 ≠ 1 ✘<br />
0 1 + (-1)<br />
0 = 0 ✓<br />
4<br />
إذن للمعادلة حالن هما 180° ,90°.<br />
م م حق<br />
cos 2 θ + 3 = 4 - sin 2 θ (4<br />
حلو دخيلة<br />
ما 4 يبيِّن كيفية حل معادلة مثلثية،<br />
واختبار إن كان لها حلول دخيلة أم ال.<br />
ما اإصا<br />
حل المعادلة الآتية:<br />
حل معادلت ملية م وجود حلو دخيلة<br />
إذن 270° حال ّ ً دخي ّ ًال<br />
متطابقة، لها عدد لا نهائي من الحلول؛ لأن جميع قيم θ تمثل حلولا ً لها.<br />
cos θ = 1 - sin θ إذا كان:<br />
0° ≤ θ ≤ 360°<br />
0°, 90°, 360°<br />
4<br />
المحتو الراص<br />
دد ل ا م الحلو العديد من<br />
المعادالت المثلثية لها عدد ال نهائي من<br />
الحلول، وإذا لم يكن هنالك فترة لتحديد<br />
عدد الحلول فيجب التعبير عن العدد<br />
الالنهائي من الحلول باستعمال التعبير عن<br />
الحلول بوصفه مضاعفات. وعندما يوجد<br />
الحل لكل دورة كاملة حول نقطة األصل،<br />
فإن الحلول جميعها تكتب على الصيغة:<br />
· 360° k a° + ؛ حيث k هي أيّ عدد<br />
صحيح.<br />
34 الوحدة 1 المتطابقات والمعادالت المثلثية<br />
<br />
التعلي نو<br />
المتعلمو المتالو اطلب إلى الطالب أثناء دراستهم هذا الدرس وضع قائمة باألخطاء الشائعة التي<br />
وقعوا فيها على السبورة. وشجِّ عهم على إضافة بعض المقترحات حول كيفية تفادي م ِ ثل هذه األخطاء. فعلى<br />
سبيل المثال، أحد األخطاء الشائعة هو أن تكون الحاسبة مضبوطة على نظام الدرجات، في حين يجب أن تكون<br />
مضبوطة على نظام الراديان؛ ألن حل المسألة يتطلب ذلك، والعكس صحيح.<br />
34 الوحدة 1 المتطابقات والمعادالت المثلثية
Change language