المعلم رياضيات الصف 12

π_
2
O
الدرص - 2 4 الو القطبية والو الداية للمعادلت 135
اإا كا للقطة P الإحداثيات الداية (y اإ ( x , الإحداثيات
القطبية للقطة ( r, θ) P حي
x > 0 عدما θ = Ta n
_ -1 y x r = √ x 2 + y 2
وعدما < 0 x اإ
θ = Ta n -1 y _
x + π
θ = Ta n -1 y _
x
اأو 180° +
وعدما = 0 x اإ r = y θ = π_ اإا كا y > 0
2
2 اأو π_ r = y θ = - اإا كا y < 0
تذك َّر أن هناك عددًا النهائي ّ ًا من أزواج اإلحداثيات القطبية للنقطة،‏ والتحويل من اإلحداثيات الديكارتية إلى
اإلحداثيات القطبية يعطي أحدها.‏
أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ّل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة بالإحداثي ّات الديكارتي ّة في كل ٍّ مما يأتي:‏
5π _
3
6.71
y
S (1 , - √ 3 ) (a
بما أن إحداثيات النقطة ) 3 (x, y) = (1, - √ Ç ، فإن . x = 1 , y = - √ Ç 3
وألن > 0 x ، لذا استعمل الصيغة θ = Ta n -1 _ y x ؛ إليجاد الزاوية . θ
θ = Ta n -1 _ y x
= Ta n -1 _ - √ Ç 3
=
- π_
3
θ = Ta n -1 _ y x + 180°
= Ta n -1 (- 6_
3 ) + 180°
1
الحو ي
x = 1 , y = - √ 3
ب
r =
=
=
√ ÇÇÇ x 2 + y 2
√ 1 ÇÇÇÇÇ
2 + (- √ Ç 3 ) 2
√ Ç 4 = 2
.S ( زوج من اإلحداثيات القطبية للنقطة 2 , - π_
أي أن ) 3
تحول الإحدايات الدارتية اإل الإحدايات القبية
θ
r
x
π_ y 2
O
-
π_
3
π_
2
O
297˚
2
S
P(r, θ )
P(x, y)
y
x
تحول الإحدايات الدارتية اإل الإحدايات القبية
0
x
= Ta n -1 (-2) + 180° ≈ 117°
y
0
x
ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة موجبة ل ، θ وذلك بإضافة . 2π
_5π 2) , ، كما في الشكل المجاور.‏
π_ - , 2 ( أو ) 3
فيكون ) 2π 3 +
T (-3 , 6) (b
بما أن إحداثيات النقطة 6) (-3, = y) (x, ، فإن = 6 y .x = -3,
وألن < 0 x ، لذا استعمل الصيغة 180° + x θ = Ta n -1 _ y ؛ إليجاد الزاوية θ
الحو ي
y = 6 , x = -3
ب
r =
=
=
√ ÇÇÇ x 2 + y 2
√ ÇÇÇÇÇ (-3) 2 + 6 2
√ Ç 45 ≈ 6.71
2
أي أن (117° 6.71) , تقريبًا هو زوج من اإلحداثيات القطبية للنقطة ، T ويمكن
إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة سالبة ل r، فنحصل على
180°) + 117° (- 6.71 , أو 297°) (- 6.71 , ، كما في الشكل المجاور.‏
تحقق من فهمك
أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمث ّل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة
بالإحداثي ّات الديكارتي ّة في كل ٍّ مما يأتي:‏
ما اإساف
أوجد زوجين مختلفين كل منهما
يمثل إحداثيين قطبيين لكل نقطة
معطاة باإلحداثيات الديكارتية في
كل ٍّ مما يأتي:‏
E)4.47,-1.11( تقريبًا E)2, -4( (a
أو 5.17( E)4.47,
G)-2, -4( (b تقريبًا
G)4.47, 4.25(
أو
G)-4.47, 7.39(
2
T
117˚
W(-9 , -4) (2B V(8 , 10) (2A
تقريب ًا 4.04) (12.8, , تقريب ًا 0.90) (-12.8, تقريب ًا 6.70) (-9.85, , تقريب ًا 3.56) (9.85,
تو التعلي
المتعلمو المتالو‏:‏ قسِّ‏ م الطلاب إلى مجموعات ثلاثية.‏ واطلب إلى أحد طلاب كل مجموعة تسمية
إحداثيات قطبية لنقطة ما.‏ ثم يقوم طالب آخر بتحويل إحداثيات النقطة إلى إحداثيات ديكارتية ويُمرِّ‏ رُ‏ ها إلى
الطالب الثالث الذي يعيد تحويلها إلى إحداثيات قطبية.‏ اطلب إليهم المقارنة بين الصورتين القطبيتين للنقطة.‏
إذا لم تكونا متساويتين،‏ فاسأل الطلاب عن الخطأ الذي أد إلى ذلك.‏ كرر النشاط مبتدئًا بإحداثيات ديكارتية.‏
الدرص - 2 4 الو القطبية والو الداية للمعادلت 135