المعلم رياضيات الصف 12

، x∆ فبما أن عرض أيٍّ‏ من المستطيالت هو . x i
ولتسهيل الحسابات مستقبالً‏ ، فإنه يمكننا اشتقاق صيغة لإيجاد أي
. x i وبالنظر إلى خط األعداد أدناه:‏
ويساوي الفرق بين أي قيمتين متتاليتين من قيم
التام
المثلة - 5 3 تُبيّن كيفية استعمال التكامل
لإيجاد المساحة تحت منحنى دالة في فترة ما.‏
∆x
∆x
∆x
x 1
x 2 x 3 x i x n
. . . . . .
a a + ∆x a + 2∆x a + 3∆x a + i∆x a + n∆x
يمكننا مالحظة أن . x i = a + i∆x ولهذه العالقة أهميتها عند إيجاد المساحة تحت منحنى أي دالة الحقًا.‏
الحظ أنه كلما اقترب عرض المستطيل من الصفر،‏ فإن عدد المستطيالت يقترب من الماالنهاية،‏ وتُسمَّى هذه النهاية
التكام ل المحدد،‏ ويعبَّر عنها برمزٍ‏ خاص.‏
ي التام الح للال f(x) الت ,a] [b بالش
_
n
b
​​ ​f (x)dx = lim ​ f ( x
a
n→∞ i )∆ x , ∆x = b - n a , x i = a + i∆x
i =1
االي اي م الش وش للتام االل الح b و للتام اال الح a
وي ا التام مشا النق الحش ب منحن الال f(x) والح x الت ,a] [b
رم التام المحد
التام المحد
مثال اإصافي
استعمل النهايات ؛ لإيجاد مساحة
المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة
، y = x 2 + 1 والمحور x في الفترة
4
] 4 [ 0, ، أو ( x 2 + 1) dx .∫
0
25.33 وحدة مربعة تقريبًا
3
b
يقرأ الرمز ​ ​f (x)dx
a
التكامل من a إلى b للدالة
d (x) ، f (x)
سُ‏ مي مجموع ريمان بهذا االسم نسبةً‏ للعالم األلماني بيرنارد ريمان (1866 – 1826). والذي يُعزى إليه ِ إيجاد صيغة
لتقريب المساحة المحصورة باستعمال النهايات.‏ ويمكننا تعديل الصيغة باستعمال األطراف اليُسرى أو نقاط المنتصف
لتحديد ارتفاعات المستطيالت.‏
n
وتسمى عملية حساب التكامل تكا ملا ً ، وستُسهِّل صيغ المجاميع الآتية حساب التكامل المحدد.‏
​c
= cn , عدد ثابت c
i =1
n
n(n + 1)
​i
= _
i =1
2
n
n(n + 1)(2n + 1)
​i 2 = __
i =1
6
n
​i 3
i =1
n
​i 4
i =1
n
​i 5
i =1
= _ n 2 (n + 1 ) 2
4
= __
6 n 5 + 15 n 4 + 10 n 3 - n
30
= __
2 n 6 + 6 n 5 + 5 n 4 - n 2
12
تُستعمل خاصيتا المجموع الآتيتان لحساب بعض التكامالت:‏
n
n n
n n
​( a i ± b i ) = ​a i ± ​b i , ​ci = c ​i , عدد ثابت c
i =1
i =1 i =1
i =1 i =1
n
​
i =1
المجموع
اإ م اب c
للمعل الجديد
الدة نبّه الطالب إلى أهمية كتابة كل
خطوة عند حساب التكامل؛ تجنبًا للوقوع
في أخطاء غير مقصودة.‏ كما يجب على
الطالب أن يكونوا حريصين في اختيار
الصيغة المناسبة لمجاميعهم.‏
5 = 5 n c n
التام باصتعمال المصاحة تحت منحن 3
16
12
8
4
O
y
y = x 2
1 2 3 4
الدرص - 5 5 الشا ح النحن والتام 199
x
استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى
4
. ​ x 2 dx في الفترة 4] [0, ؛ أي x والمحور y = x 2
0
. x i
ابدأ بإيجاد x∆ ،
_
∆x ش ∆​x = b - n
a
= 4 - 0
_
n = 4_
b = 4 , a = 0
x i
ش = a + i ∆xn
a = 0 , ∆ x = 4_
n
x i
4_ = 0 + i n = _ 4i
n
احسب التكامل المحدد الذي يُعطي المساحة المطلوبة.‏
الدرص - 5 5 الشا ح النحن والتام 199