المعلم رياضيات الصف 12

lim
. lim r(x) = r(c) = _ p(c)
x→c
الدرص - 2 5 شا النهايات جيا 171
نهايات ال ثيرات الحد
اإا ا ال p(x) و وا ا c قق ا اإ x→c p(x) = p(c)
نهايات الدال النصية
اإا ا ال r(x) = _ p(x) ش وا ا c قق ا اإ q(c) q(c) ≠ 0
q(x)
وبشكل مختصر،‏ فإنه يمكن حساب نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية من خالل التع ويض المباشر ،
شريطة أال يساوي مقام الدالة النسبية صفرً‏ ا عند النقطة التي تُحسب عندها النهاية.‏
احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكن ًا،‏ وإلا فاذكر السبب:‏
lim (-3 x 4 + 5 x 3 - 2 x 2 + x + 4) (a
x→-1
بما أن هذه نهاية دالة كثيرة حدود،‏ فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر.‏
lim (-​3 x 4 + 5 x 3 - 2 x 2 + x + 4) = -​3(-1) 4 + 5(-1 ) 3 - 2(-1 ) 2 + (-1) + 4
x→-1
[-4, 4] scl: 0.2 by [-8, 8] scl: 1
= -​3 - 5 - 2 - 1 + 4 = -​7
يعزِّ‏ ز التمثيل البياني بالآلة البيانية للدالة
f (x) = -3 x 4 + 5 x 3 - 2 x 2 + x + 4
هذه النتيجة.‏
تحقق
_
2 x
lim
3 - 6
(b
x→3 x - x 2
بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامُها ليس صفرً‏ ا عندما = 3 x ، فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر.‏
= _ 2(3 ) 3 - 6
lim _ 2 x 3 - 6
x→3 x - x 2 3 - (3) 2
= 48_
-​6
= -​8
_
x
lim
2 - 1
x→1 x - 1 (c
بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها صفر عندما = 1 x ، فال يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر.‏
lim بالتعويض المباشر.‏
√​ÇÇ​ فال يمكننا حساب x+5 ، lim
x→-6 x→-6
lim
x→-6
√​ÇÇÇ​ x + 5 (d
بما أن < 0 -1 = 5 + -6 = (x+5)
تحقق من فهمك
احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكن ًا،‏ وإلا فاذكر السبب:‏
_
​ lim بشكل خاطئ كما يلي:‏
(2B 3 lim ( x 3 - 3 x 2 - 5x + 7 ) (2A
x→4
lim √​ÇÇÇ​ x + 6 (2D lim
x→-8 x→2
_
x 2 - 1
x→1 x​- 1
نهايات الدال
_ x 3 - 8
x - 2 (2C
لنفترض أنك استعملت خاصية القسمة أو التعويض المباشر لحساب النهاية ​
. 0 شاو القا هاي ال ا شحح ل وا lim
2
x 2 lim
_- 1
( x 2 - 1)
x→1 x - 1 = _
x→1
lim (x - 1) = _ 12 - 1
x→1
1 - 1 = 0_
0
الدال الجيدة الصلو
م التشل الوا
والت الحو ات وا
ال وج التا وا
ج الشل اإ ي
م هاياها شا
التي الاش وي
اإيا هاي الوا م
التي الاش ت واإ
ل الال ج الشل
ا بش مالها ل
متشل ن النق الت
النهاي نا شح
اصتعمال التعويص الماصر لحصاب النهايات
-1 x + 1
lim _
7 x→-5 x 2 + 3
2C) بما أن هذه نهاية دالة نسبية
مقامها صفر عندما 2=x فلا يمكننا
حسابها بالتعويض المباشر.‏
2d) غير ممكن؛ لأنه إذا كانت
+ 6 x f(x) = فإن
< 0 6 -8 + = f(-8) إذن لا
lim
x→-8
√ ÇÇ
يمكن حساب f(x)
حصاب النهاية ند نقة
المثال 2 يُبيِّنُ‏ كيفية استعمال التعويض
المباشر في حساب النهايات.‏
مثال اإصافي
احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال
التعويض المباشر،‏ إذا كان ممكنًا،‏
وإال فاذكر السبب.‏
(a
lim (-2 x 4 + 3 x 3 + x 2 - 2 x + 5)
x→2
-3
-2 lim _ x 2 + 1
x→-3 x - 2 (b
lim
x→10
__ x 2 -100
x-10
بما أن هذه نهاية دالة نسبية
مقامها صفر عندما = 10 x
فال يمكننا حسابها باستعمال
التعويض المباشر.‏
(c
lim √​ÂÂÂÂ​ x + 3 (d
x→-4
غير ممكن؛ ألنه
إذا كانت + 3 x f (x) = فإن
f (-4) = -4 + 3 = -1 < 0
بما أن < 0 (4-)f فال يمكن
حساب
lim
x→-4
√​ ÅÅ​ f(x)
2
الدرص - 2 5 شا النهايات جيا 171