المعلم رياضيات الصف 12

ا‏ما ال الدال ف الحقق من تامد مهن
u = 〈2, 5〉, v = 〈8, 4〉 (b
u · v = 2(8) + 5(4)
= 36
أوجد الضرب الداخلي للمتجهين ، u , v ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين .
بما أن ≠ 0 v ،u · فإن u , v غير متعامدين كما هو
موض َّ ح في الشكل . 3.3.2
u = 〈3, 6〉, v = 〈- 4, 2〉 (a
u · v = 3(-4) + 6(2)
= 0
بما أن = 0 v ، u · فإن u , v متعامدان كما هو
موض َّ ح في الشكل . 3.3.1
تحقق من فهمك
أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u، , v ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين .
ال الدال
الما 1 يُبي ّن كيفية إيجاد الضرب الداخلي
لمتجهين،‏ والتحقق من كونهما متعامدين.‏
الما 2 يُبي ّن كيفية إيجاد طول متجه
باستعمال الضرب الداخلي.‏
الما 3 يُبي ّن كيفية إيجاد الزاوية بين
متجهين باستعمال الضرب الداخلي.‏
1
v
y
ال 3.3.1
u
y
u
O
v
x
u = 〈-2, -3〉, v = 〈9, -6〉 (1B u = 〈3, -2〉, v = 〈-5, 1〉 (1A
يحقق الضرب الداخلي الخصائص الآتية :
17- ؛ ليسا متعامدين
الدال ال اص
‎0‎؛ متعامدان
القو الو
استعمل تدريبات ‏”تحقق من فهمك“‏ بعد
كل مثال؛ للتحقق من مد فهم الطالب
المفاهيم.‏
اإا ا u , v , w متجهات ا ا k ا اإ الا ال حح
O
ال 3.3.2
x
u · v = v · u
u · (v + w) = u · v + u · w
k(u · v) = k u · v = u · k v
0 · u = 0
u · u = |u| 2
( u 2
1
+ u 2
الا الإبال
الت ا
ال ا
ال المتج الال ال ا
ال ب ال الال المتج
ال الال
2
ات ل مب ج )
√​ÇÇÇ​ u 2
1
+ u 2 2
= |u|
u · u = u 1
2
+ u 2
2
= ( ÇÇÇÇ u 2 2
1 + u 2 )
2
= |u| 2
35 – 37 الل الل ال الا ت
ا‏ما ال الدال لإا و م
مال اإافا
أوجد الضرب الداخلي للمتجهين
u , v في كل ٍّ مما يأتي،‏ ثم تحقق مما
إذا كانا متعامدين:‏
.u = 〈-3, 4〉, v = 〈3, 6〉 (a
، 15 غير متعامدين .
.u = 〈2, 7〉, v = 〈-14, 4〉 (b
0، متعامدين.‏
استعمل الضرب الداخلي؛ إليجاد
طول 5〉 〈-6, = .a
√​Ç​ 61 ≈​7.81
1
2
اإات ا u · u = |u| 2
ات ا‏〈‏ u = 〈 u 1 , u 2
2
استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول 〈12 ,5-〉 = a .
بما أن:‏ |a| 2 = a · a ، فإن:‏ |a| = √​ÇÇ​ a · a .
a = 〈-5, 12〉
|〈-5, 12〉| =​​√​ÇÇÇÇÇÇÇÇ​
〈-5, 12〉 · ​〈-5, 12〉​
ب
=​ √​ ÇÇÇÇÇ (-5) 2 + 12 2 ​=​13
تحقق من فهمك
استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول كل ٍّ من المتجهات الآتية :
5 √ 2 Ç ≈ 7.07 c = 〈-1, -7〉 (2B 20 b = 〈12, 16〉 (2A
b
y
θ a
O
x
الزاوية θ بين أي متجهين غير صفريين a , b هي الزاوية بين هذين المتجهين،‏ عندما يكونان
في وضع قياسي كما في الشكل المجاور،‏ حيث:‏ ≤ θ ≤ π 0 ، أو 180° ≤ θ ≤ 0° ، ويمكن
استعمال الضرب الداخلي؛ إليجاد قياس الزاوية بين متجهين غير صفريين.‏
الدرص - 3 3 ال الال 101
للمل الدد
ال الدال أعط ِ مثاالً‏ على كل ٍّ من جمع
متجهين،‏ وضرب متجه في عدد والضرب الداخلي
لمتجهين،‏ ثم اسأل الطالب عن الفرق بين إجابة
الضرب الداخلي واإلجابات األخر‏،‏ وعليهم مالحظة
أن ناتج الضرب الداخلي عدد،‏ وليس متجهً‏ ا.‏
الدرص - 3 3 ال الال 101