المعلم رياضيات الصف 12

π_ ، y = 3 sin ⎡ عمق نهر
⎣ 6 (x - 4) ⎤ ⎦
حل كل معادلة مما يأتي لقيم θ جميعها الموضحة بجانب كل منها : مثا 1
180° cos 2 θ + 2 cos θ + 1 = 0 ; 0° ≤ θ ≤ 360° ) 1
60° , 180° , 300° 2 cos 2 θ + cos θ = 1 ; 0° ≤ θ ≤ 360° ) 2
30° , 150° -2 sin 2 θ = 7 - 15 sin θ ; 0° ≤ θ ≤ 360° ) 3
_
150° , 210° cos θ + √ Ç 3 = 0 ; 0° ≤ θ ≤ 240° ) 4
2
حل كل معادلة مما يأتي،‏ لقيم θ جميعها إذا كان قياس θ بالراديان:‏ مثا 2
2 cos 2 θ = 1 ) 6 4 sin 2 θ - 1 = 0 ) 5
2 cos 2 θ + 4cos θ = -2 ) 8 sin θ_ - 2
θ_
sin2
2 2 = 0 ) 7
حل كل معادلة مما يأتي لقيم θ جميعها إذا كان قياس θ بالدرجات:‏ مثا 2
sin 2 θ - sin θ = 0 ) 10 cos 2θ - sin 2 θ + 2 = 0 ) 9
cos θ - 2cos θ sin θ = 0 ) 12 2 sin 2 θ - 1 = 0 ) 11
الليل والنار إذا كان عدد ساعات النهار في إحد المدن هو ، d
انظر الهامش.‏
بعد 21 مارس،‏ فأجب عما يأتي:‏ مثا 3 في أي يوم سيكون عدد ساعات النهار في المدينة _1 h 10 تمامًا؟
2
(a
باستعمال النتيجة في الفرع a، ما أيام السنة التي يكون فيها عدد
b) ساعات النهار _1 ‎10‎ساعات على األقل إذا علمت أن أطول
نهار في السنة يحدث تقريبًا يوم 22 يونيو؟ فسِّ‏ ر إجابتك.‏
2
حل كل معادلة مما يأتي:‏ المثاال ,4 5
) 14 0 = θ sin 2 2θ + cos 2 لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات.‏
2 + πk بالدرجات.‏ θ إذا كان قياس θ لجميع قيم sin 2θ - cos θ = 0 ) 15
π_
+ πk ,
π_
+ 2πk ,
5π_
) 16 1 = θ tan لجميع قيم θ إذا 2πk كان + 6 قياس θ بالدرجات.‏ 2 6
π_
4 + k · π cos 2 θ = 1_ ; 0° ≤ θ ≤ 360° )17
60° , 120° , 240° , 300°
4
36 الوحدة 1 المتطابقات والمعادالت المثلثية
اار تمثل الدالة:‏ + 8
خالل أحد األيام ؛ حيث , 24 … , 2 = 0 , 1 , x ، 0 تدل على
الساعة الثانية عشرة عند منتصف الليل،‏ 13 تدل على الساعة الواحدة
بعد الظهر ، وهكذا....‏
11 m ما أقصى عمق للنهر في ذلك اليوم؟ a)
b) في أي وقت نحصل على أقصى عمق؟
:7 00 صباح ً ا،‏
7:00 مسا ًء
حل كل معادلة مما يأتي،‏ لقيم θ جميعها،‏ إذا كان قياس θ بالراديان:‏
5-12( انظر الهامش.‏
π_
2 + 2 π k (cos θ)(sin 2θ) - 2 sin θ + 2 = 0 ) 24
π_
+ 2πk ,
5π_
2 sin 2 θ + ( √ Ç 2 - 1) sin θ = _ √ Ç 2
6 6 + 2πk ,
) 25
2
5π_
+ 2πk ,
7π_
4 4 + 2πk πk 2 sin θ = sin 2θ ) 26
حل المعادلتين الآتيتين،‏ لقيم θ جميعها،‏ إذا كان قياس θ بالدرجات:‏
30° + 360°k, 150° + 360°k,
sin 2θ + _ √ Ç 3
2 = √ Ç 3 sin θ + cos θ )27
330° + 360°k
1 - sin 2 θ - cos θ = 3_ )28
120° + 360°k, 240° + 360°k
4
الماص حسب قانون سنيل law) ، n 1 sin i = n 2 sin r (snell's
حيث n 1 معامل االنكسار للضوء في الوسط الذي يخرج منه الضوء،‏
و n 2 معامل االنكسار للوسط الذي يدخل فيه الضوء،و i قياس زاوية
السقوط،و r قياس زاوية االنكسار.‏
a) إذا كان معامل االنكسار للماس ، 2.42 ومعامل االنكسار للهواء
، 1 وقياس زاوية سقوط الضوء على حجر ألماس هو 35° ، فما
قياس زاوية االنكسار؟
13.71°
b) اشرح كيف يستطيع بائع المجوهرات استعمال قانون سنيل؛
لمعرفة إذا كان هذا ألماسً‏ ا حقيقي ّ ًا ونقي ّ ًا أم ال.‏ انظر الهامش
)23
)29
)13
ويمكن تمثيلها بالمعادلة + 12 t ، d = 3 sin 2π_ حيث t عدد األيام
365
π_
2 sin 2 θ = 1 ; 90° < θ < 270° )18
135° , 225°
π_ π_ 5π_ 3π_
6 , 2 , 6 ,
sin 2θ - cos θ = 0 ; 0 ≤ θ ≤ 2π )19
2
4 sin 2 θ - 1 = 0 ; 180° < θ < 360° )20
210° , 330°
)21 0 = θ tan θ - sin لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات.‏
k · 180°
)22 1 - θ 4 sin 2 θ = 4 sin لجميع قيم θ إذا كان قياس θ بالدرجات.‏
30° + k · 360° , 150° + k · 360°
3 التدر
التو التون
استعمل األسئلة 22–1 للتأكد من فهم
الطالب.‏
ثم استعمل الجدول أسفل هذه الصفحة؛
لتعيين الواجبات المنزلية للطالب حسب
مستوياتهم.‏
4 التو
باة مااة اطلب إلى الطالب كتابة
معادلة تتضمن sin 2 θ ويكون لها حل وحيد
في المجال 270° < θ < .90°
اإجابات
± _ π 6 + 2kπ, ± _ 5π + 2kπ )5
6
π_
4 + k _ π 2 )6
2kπ, _ π 3 + 2 kπ, _ 5π + 2kπ )7
3
π + 2kπ )8
1_ 10 ساعات،‏
90˚ + k . 180˚ )9
k . 180˚, 90˚ + k . 360˚ )10
2
45˚ + k . 90˚ )11
30˚ + k . 360˚, )12
150˚ + k . 360˚,
90˚ + k . 180˚
13a( عدد ساعات النهار
ويكون ذلك بعد 213، أو 335 يومًا
بعد يوم 21 مارس.‏ وهذا يعني أنه في
يوم 20 أكتوبر أو 19 فبراير.ستكون
عدد ساعات النهار
13b( كل يوم منذ 19 فبراير إلى 20 أكتوبر.‏
تفسير ممكن:‏ بما أن أطول نهار في
السنة يحدث تقريبًا يوم 22 يونيو،‏ لذا
فإن األيام بين 19 فبراير إلى 20 أكتوبر
يتزايد طول نهارها حتى يوم 22 يونيو،‏
ثم تبدأ ساعات النهار بالنقصان حتى
20 أكتوبر.‏
29b( بقياس زوايا سقوط الضوء
وانعكاساتها لتحديد معامل انكسار
الضوء،‏ فإذا كان معامل االنكسار 2.42
يكون ماسً‏ ا نقي ّ ًا.‏
نو الواجبات المنلية
المصتو
دون المتوسط
ال‏صلة
34–37 ،1–29
1–29 ‏(فردي)،‏ 33–37 ،31 ،30
30–37
ضمن المتوسط
فوق المتوسط
1_ 10 ساعات.‏
2
36 الوحدة 1 المتطابقات والمعادالت المثلثية