المعلم رياضيات الصف 12

الإحدايات القبية والداد المربة
المربة ورة دموافر 4-3 الداد
الجزء الحقيقي للعدد المركب ، z والمُعطَى بالصورة الديكارتية
a + bi هو ، a والجزء التخي ُّلي b. يمكن تمثيل العدد المركب في
المستو بالنقطة (b ,a). حيث يُعي َّن الجزء الحقيقي على المحور
األفقي،‏ والجزء التخيلي على المحور الرأسي،‏ والذي يسمى
المحور التخيلي.‏ القيمة المطلقة للعدد المركّب z = a + bi هي
المسافة بين العدد ونقطة األصل في المستو المركّب،‏ وتساوي:‏
i
| z |= ⎜ a + bi ⎟ = √ a ÇÇÇ 2 + b 2
(a, b)
|z|
b
O
a
R
الصورة القطبية للعدد المركب z = a + bi هي θ) ، z = r ( cos θ + i sin
حيث r تمثل القيمة المطلقة أو المقياس،‏ والزاوية θ تمثل سعة العدد
المركّب.‏
r = ⎜z⎟ = √ ÇÇÇ a 2 + b 2 , a = r cos θ, b = r sin θ ,
.a عندما < 0 θ = tan -1 _ b a + π ، a عندما > 0 θ = tan -1 _ b a
.b إذا كانت < 0 θ = - π_
أما إذا كانت = 0 a ، فإن
2 ، b إذا كانت > 0 θ = _ π 2
تُسهِّل الصورة القطبية للعدد المركب عملية ضرب األعداد المركبة
وقسمتها،‏ وصيغة ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية هي:‏
r 2 ≠ 0 1
_ ، حيث ≠ 0 2 ، z
z 1
z 1
z 2 = r 1
r 2 [cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 )]
_
أما صيغة قسمتها فهي:‏
z = r 1
2 r [cos ( θ 2
1 - θ 2 ) + i sin ( θ 1 - θ 2 )]
اكتشف عالم الرياضيات الفرنسي ديموافر نمطًا في ضرب العدد المركب
في نفسه عدة مرات،‏ وقاده ذلك النمط إلى وضع نظرية سُ‏ مِّيت باسمه.‏
وتنص ُّ نظريته على أنه إذا كان (θ z = r (cos θ + i sin عددًا مركبًا على
الصورة القطبية،‏ وكان n عددًا صحيحً‏ ا موجبًا،‏ فإن:‏
z n = (cos θ + i sin θ ) n = r n (cos nθ + i sin nθ)
ويمكن استعمال نظرية ديموافر؛ إليجاد جذور األعداد المركبة.‏
الوحدة 4 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة 124F