المعلم رياضيات الصف 12

75. ft/s سلمان كرة بسرعة رأسية قدرها ركل القد رة ( 31
افترض أن ارتفاع الكرة باألقدام بعد t ثانية مُعطى بالدالة
. f(t) = -16 t 2 + 75t + 2.5
h
t
. v(t) أوجد معادلة سرعة الكرة المتجهة اللحظية a)
b) ما سرعة الكرة المتجهة بعد 0.5 s من ركلها؟
c) إذا علمت أن السرعة المتجهة اللحظية للكرة لحظة وصولها
إلى أقصى ارتفاع هي صفر،‏ فمتى تصل إلى أقصى ارتفاع؟
d) ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟
( 32 فييا تعطى المسافة التي يقطعها جسم يتحرك على مسار
مستقيم بالمعادلة + 4 +8t ، d(t) = 3 t 3 حيث t الزمن بالثواني ،
و d المسافة باألمتار.‏
a) أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية للجسم v(t) عند
أي زمن.‏
b) استعمل v(t) لحساب سرعة الجسم المتجهة عندما
t = 2 s, 4 s, 6 s
( 33 اتصف الخا سُ‏ ئل علي وجميل
أن يصفا معادلة ميل مماس منحنى
الدالة الممثَّلة بياني ّ ًا في الشكل المجاور
عند أي نقطة على منحناها.‏ فقال علي:‏
إن معادلة الميل ستكون متصلة ؛ ألن
الدالة األصلية متصلة ، في حين قال
جميل:‏ إن معادلة الميل لن تكون
متصلة.‏ أيهما كانت إجابته صحيحة؟ فسِّ‏ ر إجابتك.‏ انظر الهامش.‏
( 34 تحد أوجد معادلة ميل مماس منحنى f(x) = 2 x 4 + 3 x 3 -​2x
عند أي نقطة عليه.‏ - 2 2 m = 8 x 3 + 9 x
( 35 ترير هل العبارة الآتية صحيحة أو خاطئة " يقطع المماس
منحنى الدالة عند نقطة التماس فقط"؟ برِّ‏ ر إجابتك.‏ انظر الهامش.‏
( 36 ترير صح أم خطأ:‏ إذا أُعطيت المسافة التي يقطعها جسم بعد t
ثانية ب ، s(t) = at + b فإن السرعة المتجهة اللحظية للجسم
تساوي a دائمًا.‏ برِّ‏ ر إجابتك.‏ انظر الهامش.‏
( 37 ات بيِّن لماذا تكون السرعة المتجهة اللحظية لجسم متحرك صفرً‏ ا
عند نقطة القيمة العظمى والصغرى لدالة المسافة.‏ انظر الهامش.‏
186 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق
( 38 ما معادلة ميل منحنى y = 2 x 2 عند أي نقطة عليه؟
m = x C m = 4x A
m = - 4x D m = 2x B
( 39 سقطت كرة بشكل رأسي،‏ فكانت المسافة التي تقطعها باألقدام
lim __ d(2+h)-d(2)
بعد t ثانية تعطى بالدالة .d(t) = 16 t 2 إذا كانت ​ h→0
h
تمثِّل السرعة المتجهة للكرة بعد ، 2 s فكم تساوي هذه السرعة ؟ C
C
A
64 ft/s C 46 ft/s A
72 ft/s D 58 ft/s B
( 40 ماميل مماس منحنى + 7 3 y = x عند النقطة 34) ‎3‎‏)؟ ,
27 C -9 A
34 D 9 B
-32t + 75
59 ft/s
O
t ≈ 2.344 s (c
90.39 ft تقريب ًا
y
44 m, 152 m, 332 m
f(x) = ⎪x⎥
x
9 t 2 + 8
4 التقوي
التصمية في الرياصيات اطلب إلى
الطالب توضيح العالقة بين ميل مماس
منحنى دالة عند نقطة،‏ ومعدل تغيّر الدالة
عند نفس النقطة.‏ إجابة ممكنة:‏ ميل مماس
الدالة عند نقطة هو معدل تغيّر الدالة عند
النقطة نفسها.‏
اإجابات
33) جميل؛ إجابة ممكنة:‏ ميل المنحنى هو
-1 عندما < 0 x ، 1 عندما > 0 .x
لذا فإن التمثيل البياني للميل يتكون من
مستقيمين أفقيين:‏
⎨ ⎧ = y ؛ ولذلك يكون غير
⎩
-1, x < 0
1, x > 0
متصل .
35) خاطئة؛ إجابة ممكنة:‏ إذا لم يكن
المنحنى دائرة فمن الممكن أن يقطع
المماس هذا المنحنى في نقاط أخرى
غير نقطة التماس،‏ على سبيل المثال،‏
المنحنى الذي يمثّل الدالة . y = sin x
36) صح،‏ إجابة ممكنة:‏ بما أن s(t) دالة
خطية،‏ فإن ميلها ثابت ويساوي ، a
وبذلك تكون السرعة المتجهة اللحظية
للجسم تساوي a دائمًا.‏
37) إجابة ممكنة:‏ إذا مثلت دالة المسافة
التي يقطعها جسم بياني ّ ًا،‏ فإن المماس
عند نقطة القيمة العظمى ‏(أو الصغرى)‏
يكون أفقي ّ ًا؛ أي موازيًا للمحور x، وميله
يساوي صفرً‏ ا.‏ ولذلك تكون السرعة
المتجهة اللحظية تساوي صفرً‏ ا عند
نقطة القيمة العظمى ‏(أو الصغرى).‏
تنوي التعلي
توص أوجد معادلة ميل منحنى الدالة + 5 x f (x) = 3 x 5 - 2 x 3 + x 2 - 6 عند أي نقطة عليه.‏
- 6 x m = 15 x 4 - 6 x 2 + 2 في كل حد اضرب المعامل في القوة،‏ ثم اطرح 1 من القوة،‏ واحذف الحد الثابت.‏
186 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق