المعلم رياضيات الصف 12

100
8
6
4
2
O
50
من نتائج النظرية األساسية في التفاضل والتكامل أنها ربطت بين التكامالت والمشتقات،‏ فالتكامل هو عملية إيجاد
دوال أصلية،‏ في حين أن االشتقاق هو عملية إيجاد مشتقات.‏ لذا فإن عمليتي التكامل واالشتقاق هما عمليتان
عكسيتان،‏ ويمكننا استعمال النظرية األساسية في التفاضل والتكامل لحساب التكامالت المحددة دون الحاجة إلى
استعمال النهايات.‏
استعمل النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى كل دالة مما يأتي
والمحور x على الفترة المعطاة:‏
y
x
O 1 2 3 4
اب الق ال ش ا
بش
3
. 4 x 3 dx على الفترة 3] ‏,‏‎1‎‏]؛ أي y = 4 x 3 (a
1
أوالً‏ : أوجد الدالة األصلية.‏
4 x 3 dx = _ 4 x 3 + 1
3 + 1 + C
= x 4 + C
الآن:‏ احسب قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى للتكامل ، ثم
أوجد الفرق.‏
الني االشاش التاش والتام
a = 1 , b = 3
بش
3
= x 4 ​
+ C ∣ ∣​ ​​
∣ 3
​​ 4 x 3 dx
1
1
= ((3) 4 + C) - ((1) 4 + C)
= 81 - 1 = 80
أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y ​4= x 3 والمحور x على الفترة [3 ,1] هي 80 وحدة مربعة.‏
y
y = 4x 3
y = x 2 + 4x + 6
x
1 2 3 4 5
4
(- x 2 + 4x + 6) dx على الفترة 4] ‏,‏‎0‎‏]؛ أي y = - x 2 + 4x + 6 (b
0
أوالً‏ : أوجد الدالة األصلية.‏
(- x 2 + 4x + 6) dx ​ ​
​
االشل الال ا = -​_
x 2 + 1
2 + 1 + _ 4 x 1 + 1
1 + 1 + _ 6 x 0 + 1
0 + 1 ​ + C
بش = -​_ x 3
3 ​ + 2 x 2 + 6x + C
الآن:‏ احسب قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى للتكامل،‏ ثم أوجد الفرق.‏
الني االشاش التاش والتام
a = 0 , b = 4
بش
​​
0
4
(-​ x 2 + 4x + 6) dx
= -​​ _ ​x 3
3 ​ + 2 x 2 ​
+ 6x + C ∣ ∣​ ​​
∣ 4
= _
(-​​ ​(4) 3
3 ​ + 2(4 ) 2 + 6(4) + C) -
_
(-​​ (0) 3
3 ​ + 2(0 ) 2 + 6(0) + C)
≈ 34.67 - 0 ≈ 34.67
أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى + 6 x y = - x 2 + 4 والمحور x على الفترة 4] [0 , هي
34.67 وحدة مربعة تقريبًا.‏
0
4
تحقق من فهمك
احسب كل تكامل محدد مما يأتي:‏
المصاحة تحت منحن
46
2
​ (16 x 3 - 6 x 2 ) dx (4B 117
5
​ 3 x 2 dx (4A
1
2
النرية ال‏صاصية في التفاص
التام
المثال 4 يُبيّن كيفية استعمال النظرية
األساسية في التفاضل والتكامل في إيجاد
المساحة تحت منحنى دالة في فترة محددة.‏
ماريا اجنصن (1799–1718)
ال اإيال ب اللات
واللش والياشات وي
الحظ أنه عند حساب قيمة الدالة األصلية عند الحدين األعلى واألدنى للتكامل ، وحساب الفرق بين القيمتين ، فإن
C لن تظهر في الناتج؛ وذلك ألن C موجودة في كلتا الدالتين األصليتين،‏ فإن الفرق بين قيمتي C يساوي صفرً‏ ا.‏
لذا فإنه لحساب تكامل محدد باستعمال النظرية األساسية في التفاضل والتكامل يمكنك إهمال الثابت C، وعدم كتابته
في الدالة األصلية.‏
Analytical Institutions تابها
او تا ا شاب التاش
والتام ما
مثال اإصافي
استعمل النظرية األساسية في
التفاضل والتكامل في حساب
مساحة المنطقة المحصورة بين
منحنى كل دالة مما يأتي والمحور x
في الفترة المعطاة:‏
y = 5x 4 (a على الفترة ] 4 [ 2, ؛
4
أي .∫ 5 x 4 dx 992 وحدة مربعة
2
y = - x 2 + 6x + 9 (b على الفترة
] 6 [ 0, ؛ أي
6
. ∫ (-x 2 + 6x + 9) dx
0
90 وحدة مربعة
للمعل الجديد
ال ا‏صلية عند حساب تكامل ما،‏ نبّه
الطالب إلى ضرورة إيجاد دالة أصلية أوالً‏
ثم القيام بالتعويض.‏
4
208 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق
208 الوحدة 5 النهايات واالشتقاق