المعلم رياضيات الصف 12
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
محات<br />
5 الدرص<br />
-6<br />
الصاصية الصاصية الصاصية في التفاص التام النرية<br />
The Fundamental Theorem of Calculus<br />
1 التري<br />
سقط قلم من جيب علي في أثناء ركوبه منطادًا ، فهوى نحو األرض.<br />
إذا كانت سرعة سقوط القلم المتجهة بالقدم لكل ثانية تُعطى ب<br />
، v(t)=-32 t فمن الممكن إيجاد االرتفاع الذي سقط منه القلم.<br />
الدال الصلية التام ير المحد تعلمت في الدرسين - 3 5<br />
و4 - 5 ، أنَّه إذا أُعطي ْتَ موقع جسم ب ، f (x) = x 2 + 2x فإن العبارة التي<br />
تمثِّل سرعة الجسم هي مشتقة (x) f أو + 2 2x ، f (x)′ = لكن إذا أُعطيت<br />
عبارة تمثِّل السرعة، وطُل ِ ب إليك إيجاد صيغة المسافة التي تم إيجاد<br />
السرعة منها، فال بد من وجود طريقة للعمل عكسي ّ ًا والعودة إلى الدالة<br />
األصلية وإلغاء االشتقاق.<br />
وبمعنى آخر، فإننا نبحث عن F(x) ، بحيث إن (x) . F′(x) = f وتُسمَّى F(x) دالة أص لية للدالة . f<br />
أوجد دالة أصلية لكل دالة مما يأتي:<br />
الدرص - 6 5 الني االشاش التاش والتام 205<br />
1<br />
f(x) = 3 x 2 (a<br />
لنبحث عن دالة مشتقتها 3. x 2 تذكر أن قوة x في مشتقة دالة القوة أقل بواحد من قوة x في الدالة. وعليه فإن<br />
قوة المتغير x في F(x) ستكون ، 3 وبما أن معامل x في مشتقة الدالة يساوي قوة x في الدالة، فإن F(x) = x 3<br />
تحقق المطلوب. حيث إن مشتقة x 3 هي - 1 3 3 x أو . 3 x 2<br />
إن x 3 ليست الدالة الوحيدة التي تحققُ المطلوب، فمثالً + 10 3 G(x) = x تحقق المطلوب أيضً ا؛ ألن<br />
، G′(x) = 3x 3 -1 + 0 = 3 x 2 وكذلك - 37 3 H(x) = x تحقق المطلوب.<br />
f (x) = - 8_<br />
x 9<br />
(b<br />
أعد كتابة (x) f بقوى سالبة لتحصل على 9- x ، f 8-=(x) وبما أن قوة x في مشتقة الدالة أقل بواحد من<br />
قوة x في الدالة، فإن قوة x في F(x) ستكون 8- ، وعليه تكون 8- x F =(x) دالة أصلية للدالة ، f<br />
فمشتقة -8 x هي -9 x -8 x -8 - 1 =-8 . الحظ أن كال ّ ً من + 3 -8 x H(x) = x -8 - <strong>12</strong> ، G(x) =<br />
تمثِّل دالة أصلية للدالة . f<br />
تحقق من فهمك<br />
أوجد دال َّتين أصليتين مختلفتين لكل دالة مما يأتي:<br />
-3 x -4 (1B 2x (1A<br />
ش اشتا النهايات<br />
لتقي الشا ح<br />
منحن ال<br />
■ اج وا اشل<br />
■ اشت الني االشاش<br />
والتام التاش <br />
الج التام الح<br />
الال االشل<br />
اإيجا الدال الصلية<br />
في المثال 1 الحظ أن إضافة أو طرح ثابت لدالَّةٍ أصلية ينتج عنه دالة أصلية أخرى، وبشكل عام فإن إضافة أو طرح<br />
ثابت C لدالة أصلية يُنتج دالة أصلية أخرى ؛ ألن مشتقة الثابت صفر. وعليه فإن هناك عددًا النهائي ّ ًا من الدوال األصلية<br />
ألي دالة. والشكل العام للدالة األصلية هو الشكل الذي يحوي الثابت . C<br />
التراب الراصي<br />
ما الدرص - 6 5<br />
استعمال النهايات؛ لإيجاد المساحات<br />
تحت منحنى دالة.<br />
الدرص - 6 5<br />
إيجاد دوال أصلية.<br />
استعمال النظرية األساسية في التفاضل<br />
والتكامل في إيجاد التكامل المحدد.<br />
ما بعد الدرص 5-6<br />
إيجاد تكامالت لدوال من غير كثيرات<br />
الحدود.<br />
2 التدريص<br />
اصلة النا<br />
اطلب إلى الطالب قراءة فقرة ”لماذا؟“.<br />
اصال<br />
• ما عالقة الدالة التي تُمثّل سرعة سقوط<br />
القلم بالدالة التي تُمثّل ارتفاعه؟<br />
الدالة التي تُمثّل سرعة سقوط القلم هي<br />
مشتقة الدالة التي تُمثّل ارتفاعه.<br />
أو الدالة التي تُمثّل ارتفاع القلم هي الدالة<br />
األصلية للدالة التي تُمثّل سرعته.<br />
• ما الذي يحتاج إليه علي لتحديد االرتفاع<br />
الذي أسقط منه القلم؟ يحتاج لإيجاد<br />
الدالة األصلية لدالة السرعة وتعويض عدد<br />
الثواني التي استغرقها القلم للوصول إلى<br />
سطح األرض بدالً من t.<br />
إجابة ممكنة:9 + -3 x x -3 , x -3 + 33, x -3 - 4,<br />
إجابة ممكنة:28 + 2 x 2 , x 2 + 5, x 2 - 7, x<br />
antiderivative<br />
التام الح<br />
indefinite integral<br />
الني االشاش <br />
التاش والتام<br />
Fundamental Theorem of<br />
Calculus<br />
الدرص - 6 5 الني االشاش التاش والتام 205
Change language